Теория полезности. Смагин Б.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
1.2. Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим вначале задачу с двумя переменными и
одним ограничением:
F(x
1
,x
2
) →max
при условии
g(x
1
,x
2
) = b
Допустим, что в точке X*=(x
1
*,x
2
*) существует ло-
кальное решение задачи и в этой точке одна из частных про-
изводных функции ограничений отлична от нуля. Например,
()
*
2
0
g
x
X
∂
≠
∂
Тогда выражение для полного дифференциала
12
12
0
gg
dgdxdx
xx
∂∂
=+=
∂∂
можно в окрестности точки X* записать в виде
21
12
/
dxgx
dxgx
∂∂
=−
∂∂
Решая это уравнение представим х
2
как функцию х
1
:
x
2
= h(x
1
), где
1
12
/
(1)
/
dhgx
dxgx
∂∂
=−
∂∂
Теперь исходную задачу можно представить в виде за-
дачи оптимизации функции одной переменной при отсутст-
вии ограничений:
H(x
1
) = F(x
1
,h(x
1
)) → max (2)
Условие первого порядка для существования локально-
го максимума функции состоит в том, что
1121
0
dHFFdh
dxxxdx
∂∂
=+⋅=
∂∂
Используя выражение (1), получим:
2
1121
/
0
/
dHFdFxdg
dxxgxdx

∂∂
=−⋅=

∂∂∂

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                            1.2. Метод множителей Лагранжа

                 Рассмотрим вначале задачу с двумя переменными и
            одним ограничением:
                                   F(x1,x2) →max
                 при условии
                                     g(x1,x2) = b

                 Допустим, что в точке X*=(x1*,x2*) существует ло-
            кальное решение задачи и в этой точке одна из частных про-
            изводных функции ограничений отлична от нуля. Например,
                                          ∂g
                                          ∂x2
                                              ( X *) ≠ 0
                  Тогда выражение для полного дифференциала
                                         ∂g          ∂g
                                   dg =       dx1 +      dx2 = 0
                                         ∂x1         ∂x2
            можно в окрестности точки X* записать в виде
                                     dx2       ∂g / ∂x1
                                         =−
                                     dx1       ∂g / ∂x2
                  Решая это уравнение представим х2 как функцию х1:
                                          dh       ∂g / ∂x1
                         x2 = h(x1), где dx    = −               (1)
                                            1      ∂g / ∂x2
                  Теперь исходную задачу можно представить в виде за-
            дачи оптимизации функции одной переменной при отсутст-
            вии ограничений:
                         H(x1) = F(x1,h(x1)) → max              (2)
                  Условие первого порядка для существования локально-
            го максимума функции состоит в том, что
                                dH ∂F ∂F dh
                                     =     +       ⋅     =0
                                dx1 ∂x1 ∂x2 dx1
                  Используя выражение (1), получим:
                                  dH ∂F  dF / ∂x2  dg
                                     =   −          ⋅    =0
                                  dx1 ∂x1  ∂g / ∂x2  dx1



                                                                             5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы