Теория полезности. Смагин Б.И. - 6 стр.

                    Очевидно, что также справедливо
                                      ∂F  dF / ∂x2  dg
                                         −          ⋅    =0
                                      ∂x2  ∂g / ∂x2  dx2
                 Введем новую переменную
                                        ∂F / ∂x2
                                     λ=
                                         ∂g / ∂x2
                 Из условия существования локального максимума не-
            обходимо следует, что
                               ∂F      ∂g
                                    −λ      = 0; j = 1, 2
                               ∂x j    ∂x j
                 Или, исключая из этих выражений переменную λ,
                                        ∂F / ∂x1 ∂g / ∂x1
                                                =         .                  (3)
                                        ∂F / ∂x2 ∂g / ∂x2
                 Таким образом, необходимые условия (3) и исходное
            ограничение можно было бы получить как условие стацио-
            нарности функции
                        L(x1,x2,λ) = F(x1,x2) + λ(b – g(x1,x2)).
                 Эти условия состоят в следующем:
                                    ∂L ∂F              ∂g
                                    dx    =      − λ       = 0; j = 1, 2
                                              dx j      dx j
                                    
                                          j

                                     ∂L = b − g ( x , x ) = 0
                                     d λ            1  2




                 Переменную λ называют множителем Лагранжа, а
            функцию L(x1,x2,λ) – функцией Лагранжа (лагранжианом).
                 Рассмотрим теперь общий случай:
                                F(X) →max            (4)
                                при условии g(X) = b

                  Предположим, что задача имеет локальное решение в
            точке Х* и что функции ограничений удовлетворяют усло-
            вию Якоби, т.е. в точке Х* ранг ρ матрицы Якоби – матрицы
            частных производных функций ограничений – совпадает с
            числом строк матрицы


            6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com