Теория полезности. Смагин Б.И. - 7 стр.

                                        ∂g1               ∂g1                 ∂g1
                                        ∂x    ( X   * )         ( X   * ) ...      ( X *) 
                                                           ∂x2                 ∂xn
                                        1                                                    
                                        ∂g 2              ∂g                  ∂g
                      ∂g                     ( X *) 1 ( X *) ... 1 ( X *) 
                    ρ    ( X *)  = ρ  ∂x1               ∂x2                 ∂xn
                                                                                              
                                                                                                =m
                      ∂X        
                                        .................................................... 
                                        g                                                    
                                        ∂ m ( X *) ∂g m ( X *) ... ∂g m ( X *) 
                                        ∂x                 ∂x2                 ∂xn           
                                        1                                                    

                  При необходимости можно перенумеровать перемен-
            ные таким образом, чтобы определитель матрицы, состав-
            ленный из последних столбцов матрицы Якоби, не был бы
            равен нулю и чтобы вектор инструментальных переменных
            можно было представить в виде Х = (Х1, Х2), где вектор Х1
            состоит из n – m переменных, а вектор Х2 – из m переменных.
            Так как выполнено условие Якоби, то по теореме о неявной
            функции в окрестности точки Х* можно разложить систему
            ограничений, представив Х2 в виде функции Х1

                                     Х2 = h(Х1),
            где h – вектор-столбец, состоящий из m функций. Теперь за-
            дачу (4) можно свести к задаче оптимизации при отсутствии
            ограничений
                             H(Х1) = F(Х1, h(Х1)) →max

                  Далее, как и в случае с функцией двух переменных,
            получаем необходимое условие для существования локально-
            го максимума:
                           ∂H     ∂F     ∂F ∂h
                                =      +     ⋅ 1 =0                                (4)
                           ∂X 1
                                  ∂X 1
                                         ∂X ∂X
                                           2

            Так как ограничения можно записать в виде тождества

                                             g(X1, h(X1)) ≡ b,

            то после дифференцирования получим


                                                                                                     7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com