Теория полезности. Смагин Б.И. - 9 стр.

            гранжа как сумма целевой функции и скалярного произведе-
            ния вектора множителей Лагранжа и вектора невязок в огра-
            ничениях задачи, т.е. разности между b и g(X)

                                       L(X, λ) = F(X) + λ (b – g(X)),

            или в развернутом виде
                                                                               m
            L( x1 , x2 ,..., xn ; λ1 , λ2 ,..., λm ) = F ( x1 , x2 ,..., xn ) + ∑ λi (bi − g i ( x1 , x2 ,..., xn )).
                                                                               i =1



                  Последним этапом является отыскание точки (Х*, λ*),
            в которой все частные производные первого порядка функ-
            ции Лагранжа равны нулю:
                           ∂L              ∂F                 ∂g
                         ∂X  ( X*, λ∗ ) =    ( X* )  − λ ∗ ⋅    ( X* ) = 0,
                                            dX                 ∂X
                                                                                                 (7)
                          ∂L ( X*, λ∗ ) = b − g ( X* ) = 0
                          ∂λ

                 Первые n соотношений показывают, что градиент це-
            левой функции равняется вектору множителей Лагранжа,
            умноженному на матрицу Якоби для функций ограничений,
            т.е.
                                             ∂F                ∂g
                                                ( X* ) = λ ∗ ⋅    ( X* ),
                                             ∂X                ∂X
            или в развернутом виде
                ∂F * *                             ∂g
                     ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ λi* ⋅ i ( x1* , x2* ,..., xn* ) , j = 1,2,..., n
                                             m
                                      *

                ∂x j                        i =1   ∂x j

                 Остальные m условий представляют собой систему ог-
            раничений

                                                       g(X*) = b.




                                                                                                                   9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com