Теория полезности. Смагин Б.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
Решая совместно m+n уравнений (7), получим значения
m+n неизвестных: переменных X* = (x
1
*,x
2
*,…,x
n
*) и λ* =
(λ
1
*,λ
2
*,…,λ
m
*).
Напомним определения положительной и отрицатель-
ной определенности матрицы А. Пусть А – квадратная сим-
метрическая матрица, а Х – вектор-столбец. Квадратичной
формой матрицы А называется
11
()
nn
T
Aijij
ij
QXXAXaxx
==
==
∑∑
Квадратичная форма Q
A
(X) называется положительно
определенной, если Q
A
(X) > 0 при всех Х и положительно
полуопределенной, если Q
A
(X) ≥ 0 при всех Х. Квадратичная
форма Q
A
(X) называется отрицательно определенной, если
Q
A
(X) < 0 при всех Х и отрицательно полуопределенной, ес-
ли Q
A
(X) ≤ 0 при всех Х.
Матрицу А, соответствующую квадратичной форме,
называют положительно определенной (отрицательно опре-
деленной и т.д.), если Q
A
(X) является положительно опреде-
ленной (отрицательно определенной и т.д.).
Квадратичная форма Q
A
(X) является положительно оп-
ределенной тогда, и только тогда, когда все характеристиче-
ские корни А положительны или, что эквивалентно, если все
главные миноры матрицы А положительны. Квадратичная
форма Q
A
(X) является отрицательно определенной тогда, и
только тогда, когда все характеристические корни А отрица-
тельны или, что эквивалентно, когда у главных миноров че-
редуются знаки «+» и «–». Квадратичная форма Q
A
(X) явля-
ется положительно полуопределенной тогда, и только тогда,
когда все характеристические корни А неотрицательны и по
крайней мере один из них равен нулю; она является отрица-
тельно полуопределенной тогда и только тогда, когда все ха-
рактеристические корни неположительны и по крайней мере
один из них равен нулю.
Необходимые условия второго порядка состоят в том,
что матрица Гессе
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                   Решая совместно m+n уравнений (7), получим значения
            m+n неизвестных: переменных X* = (x1*,x2*,…,xn*) и λ* =
            (λ1*,λ2*,…,λm*).
                   Напомним определения положительной и отрицатель-
            ной определенности матрицы А. Пусть А – квадратная сим-
            метрическая матрица, а Х – вектор-столбец. Квадратичной
            формой матрицы А называется
                                                        n    n
                                Q A ( X ) = X AX = ∑∑ aij xi x j
                                              T

                                                       i =1 j =1
                  Квадратичная форма QA(X) называется положительно
            определенной, если QA(X) > 0 при всех Х и положительно
            полуопределенной, если QA(X) ≥ 0 при всех Х. Квадратичная
            форма QA(X) называется отрицательно определенной, если
            QA(X) < 0 при всех Х и отрицательно полуопределенной, ес-
            ли QA(X) ≤ 0 при всех Х.
                  Матрицу А, соответствующую квадратичной форме,
            называют положительно определенной (отрицательно опре-
            деленной и т.д.), если QA(X) является положительно опреде-
            ленной (отрицательно определенной и т.д.).
                  Квадратичная форма QA(X) является положительно оп-
            ределенной тогда, и только тогда, когда все характеристиче-
            ские корни А положительны или, что эквивалентно, если все
            главные миноры матрицы А положительны. Квадратичная
            форма QA(X) является отрицательно определенной тогда, и
            только тогда, когда все характеристические корни А отрица-
            тельны или, что эквивалентно, когда у главных миноров че-
            редуются знаки «+» и «–». Квадратичная форма QA(X) явля-
            ется положительно полуопределенной тогда, и только тогда,
            когда все характеристические корни А неотрицательны и по
            крайней мере один из них равен нулю; она является отрица-
            тельно полуопределенной тогда и только тогда, когда все ха-
            рактеристические корни неположительны и по крайней мере
            один из них равен нулю.
                  Необходимые условия второго порядка состоят в том,
            что матрица Гессе



            10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы