Теория полезности. Смагин Б.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

12
()
()
()
()
LF
F
∂∂∂∂∂∂
=⋅−⋅+−⋅+=
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂

=−⋅⋅+−⋅+

∂∂∂∂

XgX
bgX
bXbXbb
gX
bgX
XXbb
λ
λλ
λ
λλ
Первые два члена этого выражения в точке (Х*, λ*) об-
ращаются в нуль из-за условий первого порядка (7), так что
∂L/∂b равно вектору множителей Лагранжа. Однако значение
функции Лагранжа в точке (Х*, λ*) является оптимальным
значением целевой функции. Следовательно,
()
*
*,**
LF
∂∂
==
∂∂
X
bb
λλ
Таким образом, множители Лагранжа, соответствую-
щие решению задачи, измеряют чувствительность оптималь-
ного значения целевой функции F* = F(X*) к изменениям
констант ограничений b.
Пример 1:
F(x
1
,x
2
) = (x
1
– 3)
2
+ (x
2
– 2)
2
→ extr
при ограничении х
1
– х
2
= 4
Построим функцию Лагранжа
L(x
1
,x
2
,λ) = (x
1
– 3)
2
+ (x
2
– 2)
2
+ λ(4 – x
1
+ x
2
)
Отыщем точку, в которой все частные производные
первого порядка функции Лагранжа равны нулю:
()
()
1
1
2
2
12
220
40
L
x
x
L
x
x
L
xx
λ
λ
λ
∂
=−−=
∂
∂
=−+=
∂
∂
=−+=
∂
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                  ∂L ∂F ∂X         ∂g ∂X                        ∂λ
                     =   ⋅     −λ     ⋅      + (b − g( X )) ⋅       +λ =
                  ∂b ∂X ∂b         ∂X ∂b                         ∂b
                    ∂F      ∂g   ∂X                       ∂λ
                  =    −λ ⋅     ⋅
                                       + ( b − g ( X ) ) ⋅     +λ
                    ∂X      ∂X   ∂b                       ∂b

                  Первые два члена этого выражения в точке (Х*, λ*) об-
            ращаются в нуль из-за условий первого порядка (7), так что
            ∂L/∂b равно вектору множителей Лагранжа. Однако значение
            функции Лагранжа в точке (Х*, λ*) является оптимальным
            значением целевой функции. Следовательно,

                                    ∂L               ∂F *
                                       ( X *, λ *) =      =λ*
                                    ∂b                ∂b

                  Таким образом, множители Лагранжа, соответствую-
            щие решению задачи, измеряют чувствительность оптималь-
            ного значения целевой функции F* = F(X*) к изменениям
            констант ограничений b.
            Пример 1:

                          F(x1,x2) = (x1 – 3)2 + (x2 – 2)2 → extr
                              при ограничении х1 – х2 = 4
                  Построим функцию Лагранжа
                  L(x1,x2,λ) = (x1 – 3)2 + (x2 – 2)2 + λ(4 – x1 + x2)
                  Отыщем точку, в которой все частные производные
            первого порядка функции Лагранжа равны нулю:
                                ∂L
                                ∂ x = 2 ( x1 − 3 ) − λ = 0
                                1
                                ∂L
                                     = 2 ( x2 − 2 ) + λ = 0
                                 ∂
                                2 x
                                ∂L
                                    = 4 − x1 + x 2 = 0
                                ∂ λ



            12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы