Теория полезности. Смагин Б.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

13
Из первого и второго уравнений последовательно на-
ходим:
λ = 2(х
1
– 3) = 2(2 – х
2
), откуда х
1
– 3 = 2 – х
2
, т.е. х
1
= 5
– х
2
. Подставляя полученное выражение в последнее уравне-
ние вышеприведенной системы, получим: х
2
= 1/2; тогда х
1
=
5 – х
2
= 9/2; λ = 2(х
1
– 3) = – 5.
В условиях данной задачи g(x
1
,x
2
) = x
1
– x
2
. Поэтому
условие Якоби выполнено, т.к.
()()
12
1;1*111.
ggg
иX
xxX
ρρ
∂∂∂

==−=−=

∂∂∂

Матрица же Гессе
2
2
20
,
02
L
X

∂
=

∂

Является положительно определенной, что свидетель-
ствует о том, что точка (х
1
*,х
2
*, λ*) = (9/2,1/2, – 5) является
точкой минимума. При этом L(х
1
*,х
2
*, λ*) = F(х
1
*,х
2
*) = 12,5.
Пример 2.
F(x
1
,x
2
,x
3
) = х
1
х
2
+ х
1
х
3
+ х
2
х
3
→ max
при ограничениях:
х
1
+ х
2
+ х
3
= 8
2х
1
+ х
2
+ х
3
= 12
Построим функцию Лагранжа
L(x
1
,x
2
,x
3
,λ
1
,λ
2
) = х
1
х
2
+ х
1
х
3
+ х
2
х
3
+λ
1
(18 – x
1
– x
2
– x
3
)+λ
2
(24 –
2x
1
– x
2
– x
3
)
В условиях данной задачи g
1
(x
1
,x
2
,х
3
) = x
1
+x
2
+х
3
; g
2
(x
1
,x
2
,х
3
) =
2x
1
+x
2
+х
3
. Поэтому условие Якоби выполнено, т.к.
()
111221
123123
1;1;1;2;1;1.
111
*2.
211
gggggg
xxxxxx
g
X
X
ρρ
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂

∂

==


∂


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                   Из первого и второго уравнений последовательно на-
            ходим:
                   λ = 2(х1 – 3) = 2(2 – х2), откуда х1 – 3 = 2 – х2, т.е. х1 = 5
            – х2. Подставляя полученное выражение в последнее уравне-
            ние вышеприведенной системы, получим: х2 = 1/2; тогда х1 =
            5 – х2 = 9/2; λ = 2(х1 – 3) = – 5.
                   В условиях данной задачи g(x1,x2) = x1 – x2. Поэтому
            условие Якоби выполнено, т.к.
                    ∂g       ∂g            ∂g
                        = 1;     = −1 и ρ     ( X *)  = ρ (1 −1) = 1.
                    ∂x1      ∂x2           ∂X         

                    Матрица же Гессе
                                    ∂2 L  2 0 
                                        =
                                    ∂X 2  0 2 
                                                   ,


                  Является положительно определенной, что свидетель-
            ствует о том, что точка (х1*,х2*, λ*) = (9/2,1/2, – 5) является
            точкой минимума. При этом L(х1*,х2*, λ*) = F(х1*,х2*) = 12,5.
            Пример 2.
                        F(x1,x2,x3) = х1х2 + х1х3 + х2х3 → max
                  при ограничениях:
                                    х1 + х2 + х3 = 8
                                   2х1 + х2 + х3 = 12

                   Построим функцию Лагранжа
            L(x1,x2,x3,λ1,λ2) = х1х2 + х1х3 + х2х3+λ1(18 – x1 – x2 – x3)+λ2(24 –
            2x1 – x2 – x3)
            В условиях данной задачи g1(x1,x2,х3) = x1+x2+х3; g2(x1,x2,х3) =
                  2x1+x2+х3. Поэтому условие Якоби выполнено, т.к.
                       ∂g1     ∂g     ∂g      ∂g 2     ∂g     ∂g
                           = 1; 1 = 1; 1 = 1;      = 2; 2 = 1; 1 = 1.
                       ∂x1     ∂x2    ∂x3     ∂x1      ∂x2    ∂x3
                            ∂g                1 1 1
                          ρ    ( X *)  = ρ         = 2.
                            ∂X               2 1 1 




                                                                               13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы