Теория полезности. Смагин Б.И. - 8 стр.

                                         ∂g   ∂g ∂h
                                            +     ⋅   =0
                                        ∂X1 ∂X 2 ∂X 1
                                  ∂g
                    Матрица             размерности m×m невырожденная, т.к.
                                 ∂X 2
            выполняется условие Якоби. Поэтому из предыдущего выра-
            жения найдем:
                                             −1
                               ∂h      ∂g   ∂g 
                                   = − 2  ⋅ 1 
                              ∂X1      ∂X   ∂X 
            и условия (4) можно записать в виде:
                                                    −1
                        ∂F  ∂F   ∂g   ∂g 
                            −      ⋅       ⋅     =0                    (5)
                        ∂X 1  ∂X 2   ∂X 2   ∂X 1 
            Очевидно также, что
                                                    −1
                      ∂F  ∂F   ∂g   ∂g 
                          −      ⋅
                               2    2 
                                          ⋅ 2 
                                                 =0                          (6)
                     ∂X 2
                            ∂X   ∂X   ∂X 
            Полагая теперь
                                                    −1
                                 ∂F   ∂g 
                              λ=       ⋅
                                     2      2 
                                                  = ( λ1 , λ2 ,..., λm ) ,
                                 ∂X     ∂X   
            Можно представить необходимые условия (5) и (6) в форме
                                         ∂F    ∂g
                                            −λ    =0
                                         ∂X    ∂X
                 Эти необходимые условия наряду с исходными огра-
            ничениями можно получить, дифференцируя по Х и по λ
            функцию
                              F(X) + λ (b – g(X)).

            Таким образом, при решении задачи математического про-
            граммирования
                                   F(X) →max
                              при условии g(X) = b

            на первом этапе вводится вектор-строка из m новых пере-
            менных λ = (λ1, λ2,…, λm), называемых вектором множите-
            лей Лагранжа. На втором этапе определяется функция Ла-


            8

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com