Теория полезности. Смагин Б.И. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

4
Говорят, что функция f(X) достигает локального мак-
симума в точке X
0
∈
D, если найдется ε > 0 и Е (ε-окрестность
точки X
0
), такие что
f(X
0
) ≥ f(X) для всех X
∈
D∩ Е
Локальный максимум будет строгим, если заменить в
предыдущем определении нестрогое неравенство на строгое
f(X
0
) > f(X) для всех X
∈
D∩ Е
Изучим условия, при которых локальный максимум
является глобальным.
Определение. Функция g(X) называется выпуклой на
непустом выпуклом множестве D, если для любых двух точек
X
1
∈
D и X
2
∈
D и любого числа α
∈
[0;1] справедливо неравен-
ство
g[α X
1
+ (1 – α) X
2
] ≤ αg(X
1
) + (1 – α)g(X
2
)
Функция g(X) называется строго, выпуклой, если для
α
∈
(0;1) и X
1
≠ X
2
предыдущее условие выполняется как стро-
гое неравенство.
Определение. Функция f(X) называется вогнутой на
непустом выпуклом множестве D, если функция – f(X) вы-
пукла на D. Иначе говоря, если f(X) – вогнутая функция на
непустом выпуклом множестве D, то
f[α X
1
+ (1 – α) X
2
] ≥ αf(X
1
) + (1 – α)f(X
2
),
где α
∈
[0;1]; X
1
∈
D и X
2
∈
D.
Теорема (достаточные условия глобального макси-
мума). Пусть допустимое множество D не пусто и является
компактным и выпуклым, а непрерывная функция f(X) во-
гнута на D. Тогда:
1) локальный максимум является глобальным;
2) множество точек, на котором достигается максимум,
выпукло.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                  Говорят, что функция f(X) достигает локального мак-
            симума в точке X0 ∈ D, если найдется ε > 0 и Е (ε-окрестность
            точки X0), такие что

                                f(X0) ≥ f(X) для всех X∈ D∩ Е

                 Локальный максимум будет строгим, если заменить в
            предыдущем определении нестрогое неравенство на строгое

                                f(X0) > f(X) для всех X∈ D∩ Е

                   Изучим условия, при которых локальный максимум
            является глобальным.
                   Определение. Функция g(X) называется выпуклой на
            непустом выпуклом множестве D, если для любых двух точек
            X1 ∈ D и X2∈ D и любого числа α∈ [0;1] справедливо неравен-
            ство
                      g[α X1+ (1 – α) X2] ≤ αg(X1) + (1 – α)g(X2)

                   Функция g(X) называется строго, выпуклой, если для
            α∈ (0;1) и X1 ≠ X2 предыдущее условие выполняется как стро-
            гое неравенство.
                   Определение. Функция f(X) называется вогнутой на
            непустом выпуклом множестве D, если функция – f(X) вы-
            пукла на D. Иначе говоря, если f(X) – вогнутая функция на
            непустом выпуклом множестве D, то

                         f[α X1+ (1 – α) X2] ≥ αf(X1) + (1 – α)f(X2),

            где α∈ [0;1]; X1∈ D и X2∈ D.

                  Теорема (достаточные условия глобального макси-
            мума). Пусть допустимое множество D не пусто и является
            компактным и выпуклым, а непрерывная функция f(X) во-
            гнута на D. Тогда:
                  1) локальный максимум является глобальным;
                  2) множество точек, на котором достигается максимум,
            выпукло.


            4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы