Основы механики сплошных сред. Смогунов В.В - 68 стр.

        (V , D ) ⇒ p = p0 + (V0 − V )(D − u 0 )2 / V02 ,
u = u 0 + (V0 − V )(D − u 0 ) / V0 ;

       (D, u ) ⇒ V = V0 (D − u ) / (D − u0 ),                          p = p0 + (D − u0 )(u − u0 ) / V0 .


                  Решение волнового уравнения с плоскими волнами.


       Рассмотрим сначала случай движений газа c плоскими волнами,
когда потенциал ϕ зависит только от одной координаты x и от времени t .
В этом случае волновое уравнение принимает следующую простую форму:

                                               ∂ 2ϕ 1 ∂ 2ϕ
                                                   =         .
                                               ∂x 2 a02 ∂t 2

       Легко видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид
                      ϕ( x, t ) = f1 ( x − a0t ) + f 2 ( x + a0t ) = f1 (ξ ) + f 2 (η) ,             (68)

       где f1 (ξ ), f 2 (η) – произвольные дважды дифференцируемые функции
своих аргументов
                                      ξ = x − a0 t и η = x + a0 t .                                  (69)

       Действительно, в результате дифференцирования (69) будем иметь

                                        ∂ 2ϕ
                                               2
                                                   = f1' ' (ξ ) + f 2' ' (η) ,
                                        ∂x

                                      ∂ 2ϕ
                                      ∂t   2
                                                       [
                                               = a02 f1' ' (ξ ) + f 2' ' (η) .   ]
       Отсюда непосредственно видно, что (69) удовлетворяет уравнению
(68) при произвольных функциях f1 и f 2 . Вид которых при решении
конкретных задач необходимо определять из дополнительных условий.




                                                     68