Дискретная математика. Бинарные отношения. Соколова С.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6
чение этих множеств непусто: А∩В={с}. Найдем A×В и В×A:
А×В={(а, с), (a, d), (b, с), (b, d), (с, с), (с, d)};
В×А={(с, a), (d, а), (с, b), (d, b), (с, с), (d, с)}.
По этим двум выражениям видно, что множество
(А×В)∩(В×А)={(с, с)}, т.е. не пусто.
Операция декартова произведения применима не только к двум,
но и большему числу множеств:
М=A
1
×A
2
×…×A
n
={(a
1
, a
2
,…, a
n
) / a
1
∈А
1
∧ a
2
∈A
2
∧…∧ a
n
∈A
n
}.
Операция декартова произведения множеств ассоциативна:
(А×В)×C=А×(В×С)=А×В×С,
благодаря чему при записи декартова произведения нескольких мно-
жеств скобки можно не использовать.
Для декартова произведения множеств справедливы следующие
законы дистрибутивности :
A×(B
∪
C)=(A×B)
∪
(A×C);
A×(B\С)=(A×B)\(A×С),
что позволяет раскрывать скобки в выражениях, содержащих операцию
декартова произведения и операции объединения, либо разности мно-
жеств.
Если |А| и |В| – кардинальные числа множеств А и В, то
|A×B|=|B×A|=|A|⋅|B|,
где точка между символами |А| и |B| обозначает операцию арифметиче-
ского умножения. Например, при А={а, b, с}, В={1, 2, 3, 4, 5} имеем:
|A|=3; |B|=5; |A×B|=3⋅5=15.
Если |A
1
|, |A
2
|,…,|А
n
| – кардинальные числа множеств A
1
, А
2
,..., A
n
,
то
|A
1
×A
2
×…×A
n
|=|A
1
|×|A
2
|×…×|A
n
|,
т.е. чтобы определить число элементов декартова произведения не-
скольких множеств, достаточно найти арифметическое произведение их
кардинальных чисел.
Пример. Пусть А={1,2,3,4}, В={а,b,с}, С={x,y,z,u,v}, тогда
|A|=4; |B|=3; |С|=5 и |A×B×С|=4⋅3⋅5=60, т.е. множество A×B×С содержит
60 упорядоченных троек вида
(1,a,x), (1,a,y), (1,a,z) и т.д. до (4,c,v).
Упражнения для самостоятельного решения
1. (УЛ) Найдите элементы множества (А×B)∩(В×A), если
А={a,b};
В={b,с}.

Страницы