Практикум по электричеству и магнетизму. Солодуха А.М - 13 стр.

     Если точечный заряд q перемещается в электростатическом поле из
точки a в точку b (рис. 1), то силы, действующие на него со стороны поля в
  r                      b
                                каждой точке траектории, совершают над
                                                       br r
 F      r                     зарядом работу:      A = ò F × dl ,      (4)
       ds r
       r
      dr d l
                        r          r        r
                                                          a

          q
                        rb   где F = qE – это электрическая сила, дейст-
                                                                  r
                             вующая на заряд в каждой точке, а dl – это
              r              вектор малого перемещения заряда вдоль
              r
           r
                             траектории. Для простоты будем считать,
a                     Q      что поле создано неподвижным точечным
          ra                 зарядом Q. Тогда сила F в (4) – это сила ку-
            Рис. 1           лоновского взаимодействия зарядов Q и q
                             (см. (2)).
                 r
Перемещение dl можно представить как сумму перемещений по линии
действия силы – drr и в перпендикулярном этой линии направлении – dsr
                                r       r r
(рис. 1):                      dl = dr + ds .                         (5)
                        r
Поскольку на участках ds работа не совершается, то с учетом (2) и (5) из
формулы (4) получим:
                           Qq b dr      Qq     Qq
                     A=         ò    =       -        .                 (6)
                          4pe 0 a r 2 4pe 0ra 4pe 0rb
       Из (6) видно, что работа по перемещению заряда q в поле заряда Q
не зависит от формы пути, а зависит лишь от положения в поле начальной
(ra) и конечной (rb) точек. Отсюда следует, что работа по перемещению за-
ряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру равна ну-
лю, что можно записать в следующем виде:
                                   r r
                               q ò E × dl = 0.                        (7)
                               L
      Поскольку q ¹ 0, то из (7) следует принципиальный для электростати-
ческого поля результат: циркуляция вектора напряженности электро-
статического поля вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю:
                                  r r
                                ò E × dl = 0 .                        (8)
                               L
      Полученные результаты (формулы (6)–(8)) свидетельствуют о том,
что электростатическое поле является потенциальным, а следова-
тельно, работа в нем может быть представлена как убыль потенциальной
энергии:
                             A = Wa – Wb,                               (9)
где Wa и Wb – значения потенциальной энергии заряда q в точках поля a и b.
      Сравнивая формулы (6) и (9) для работы, можно написать выражение
для потенциальной энергии взаимодействия зарядов Q и q (или, другими

                                       13