Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
1
2
=
∑
=
n
i
i
d ,
и, следовательно,
1=
S
r .
Можно доказать, что при полной обратной связи, т.е. когда ранги двух рядов расположены в обратном порядке, будет
иметь место
1−=
S
r .
Поскольку
S
r определяется на основе выборки, возникает необходимость в проверке гипотезы
0:
0
=
ρ
S
H ,
где
S
ρ – генеральный коэффициент ранговой корреляции. Оказывается, при отсутствии связи между рангами и
∞
→n
()
2~
1
2
2
−
−
−
nt
r
nr
S
S
.
Вторым показателем с.т.с.с. для ранжировок является коэффициент ранговой корреляции Кендалла.
Пусть выборка объема n содержит независимые объекты и имеется две их ранжировки. Упорядочим объекты в соответ-
ствии с одной их них. Обозначим y
i
– ранг объекта по второй ранжировке, имеющего i-й ранг, в соответствии с первой (т.е.
стоящего на
i -м месте после упорядочивания). Обозначим,
i
R – количество объектов, стоящих справа от i -го, и имеющих
ниже ранг (большее число) по второй ранжировке. Находим
R = R
1
+ R
2
+ … + R
n – 1
.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой
1
)1(
4
−
−
=τ
nn
R
е
.
Величину
i
R будем называть количеством соответствий. Можно наоборот считать количество, так называемых, инвер-
сий, тогда
)1(
4
1
−
−=τ
nn
R
е
.
Оказывается, при отсутствии связи между рангами и
∞
→n
()
1,0~
)99/()52(2
2
N
nnn
T
e
−+
τ
=
.
Пример. Допустим, что при ранжировании отметок на вступительных экзаменах и средних баллов за первую экзамена-
ционную сессию одних и тех же лиц получены ранги, указанные в табл. 5.6. Проверить согласованность этих ранжировок.
Таблица 5.6.
Студент А Б В Г Д У Ж З И К
Вступительные экзамены 2 5 6 1 4 10 7 8 3 9
Экзаменационная сессия 3 6 4 1 2 7 8 10 5 9
d
i
–1 –1 2 0 2 3 –1 –2 –2 0
Решение. Находим коэффициент Спирмэна
28
2
=
∑
i
d ⇒
)110(10
286
1
2
−⋅
⋅
−=
S
r
=0,83.
Такая величина коэффициента ранговой корреляции говорит о достаточно высокой связи между результатами
двух видов экзаменов. Однако сделаем проверку его значимости, например, при
α=0,05. Если нулевая гипотеза верна,
то должно быть
()
31,284,2
83,01
21083,0
2/05,0
2
=≤=
−
−⋅
t
.
Видим, что неравенство не выполняется – нулевая гипотеза отклоняется. Связь между результатами на вступительных и
экзаменах в сессии есть.
Рассмотрим на этом же примере использование коэффициента Кендалла. Запишем список студентов, упорядочив их по
результату вступительных экзаменов. Такой список и величины R
i
указаны в табл. 5.7.

Страницы