ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей – математическая дисциплина, объектом изучения которой являются случайные события. На
теории вероятностей основывается математическая статистика, которую иногда считают даже частью теории вероят-
ностей. Экономика и производственные процессы – одна из важнейших сфер применения теории вероятности и матема-
тической статистики.
Уже давно исследование и прогнозирование экономических явлений трудно представить без использования методик
статистического оценивания, проверки гипотез, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих эконометрических
моделей и других методов, опирающихся на теорию вероятностей. А с развитием общества мировая экономика все более
усложняется и, следовательно, по законам развития динамических систем должен усиливаться статистический характер
законов, описывающих социально-экономические явления.
Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как
важнейшим инструментом анализа и прогнозирования экономических явлений и процессов.
Данное пособие содержит подборку примеров решения наиболее важных и типичных по содержанию задач, методи-
ческие рекомендации по их решению, и изучению рассматриваемой дисциплины в целом. Пособие не имеет целью изло-
жение теории, а содержит лишь вспомогательный материал, способствующий самостоятельному выполнению контроль-
ных работ студентами, в особенности, заочного отделения. Последовательность рассмотрения материала, в основном,
соответствует имеющемуся по данной дисциплине учебному пособию [1]. Необходимый теоретический материал можно
найти и в других источниках [2, 4, 5] и т.д.
1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
Как и всякая математическая дисциплина, Теория вероятностей и математическая статистика является прежде всего
стройной теорией, состоящей из определений, теорем и различных других абстрактных построений. Решение задач при
ее изучении имеет целью проиллюстрировать соответствующие моменты теории. Однако, вероятностные и статистиче-
ские примеры и задачи являются несомненно наиболее практически содержательными, часто находящими непосредст-
венное продолжение в реальных ситуациях.
Следует отметить, что при решении задач теории вероятностей, особенно относящихся к рассматриваемым началь-
ным, фундаментальным вопросам, интерес представляет не ответ, а именно процесс решения задачи. Ответ (результат),
зачастую, интуитивно очевиден. Важно, формально строго, опираясь на известные в теории определения, теоремы и т.д.,
выстроить и четко описать схему решения задачи. В истории известны примеры, когда из-за неправильной схемы рассу-
ждений весьма одаренные и известные математики допускали в вероятностных задачах грубейшие ошибки.
1.1. Общие понятия о случайном событии и его вероятности.
Действия над случайными событиями
Теоретический материал, соответствующий данному вопросу, рассмотрен в [1, п. 1.1], а также в [2, п. 1.1, 1.2; 4, п.
1.1].
Любое случайное событие всегда связано с конкретным вероятностным опытом и не может рассматриваться само по
себе, в отрыве от этого опыта. Это означает, что рассматривая случайное событие, необходимо четко определить, в чем
заключается вероятностный опыт, каковы его возможные исходы, действительно ли данное событие следует изучать как
результат этого опыта, и т.д.
Пример 1.1. Определить множество исходов стохастического эксперимента, состоящего в сдаче студентом экзамена.
Решение. Очевидно, к этому множеству относятся исходы:
• получение оценки «отлично»;
• получение оценки «хорошо»;
• получение оценки «удовлетворительно»;
• получение оценки «неудовлетворительно».
Однако, в зависимости от ситуации, может оказаться целесообразным включение таких исходов, как
• опоздание студента на экзамен;
• неявка преподавателя, например по причине болезни
• и т.д.
Понятие случайного события в теории вероятностей всегда можно ассоциировать с понятием множества. Поэтому
для понимания действий над случайными событиями следует разобраться с действиями над множествами. При этом це-
лесообразно помнить, что теория множеств является самостоятельным разделом высшей математики [6, п. 1.1], а никак
не частью теории вероятностей.
Пример 1.2. Показать, что события А, В – А и
(
)
BA + несовместны, а их сумма составляет достоверное событие Ω.
Решение. Докажем несовместность каждой пары этих событий.
В соответствии с определением операции вычитания множеств события А и В – А, очевидно, являются несовмест-
ными, то есть
(
)
=
−
ABA ∅.
Далее, если некоторый элемент ω множества Ω таков, что ω ∈ А, то ω∈(А + В), и значит ω∉
(
)
BA + , а тогда и
А
(
)
BA +
= ∅.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
