Теория вероятностей и математическая статистика. Солопахо А.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Наконец, если ω∈ (В – А), то ω∈(А + В) и ω∉
(
)
BA + , а значит
(
)
(
)
BAAB +− = ∅,
т.е. указанные три события попарно несовместны.
Окончательно
А + (В – А) +
(
)
BA +
=А + В +
(
)
BA +
= Ω,
т.е. эти события в сумме составляют Ω.
1.2. Схема с равновозможными исходами.
Классическое определение вероятности
Теоретический материал, соответствующий данному вопросу, рассмотрен в [1, п. 1.2], а также в [2, п. 1.3; 4, п. 1.2].
Любому стохастическому эксперименту можно поставить в соответствие одну из трех возможных схем его проведе-
ния (см. также [1, п. 1.4, 1.5]). Схема с равновозможными исходами является простейшей из них. В реальной жизни не-
много экспериментов соответствует ей. Однако почти все азартные игры являются такими экспериментами.
Расчеты вероятностей событий, связанных с экспериментом, соответствующим схеме с равновозможными исхода-
ми, основаны на так называемом классическом определении вероятностей, которое имеет очень большую теоретическую
и практическую значимость. Исходя из этого определения, если известно, что
• эксперимент соответствует данной схеме;
• заданы благоприятствующие исходы некоторых событий,
то можно формально строго находить и вероятности случайных событий, являющиеся результатом арифметических действий (опера-
ций) над этими событиями.
Пример 1.3. Пусть в закрытой урне находится 20 пронумерованных шаров одинакового размера. Найти вероятности
событий, что наудачу вытащенный шар имеет
• четный номер;
• номер больший, чем 11,
а также вероятности суммы, разности и произведения этих событий.
Решение. Обозначим: А – шар имеет четный номер; В – номер шара больше 11.
Элементарные исходы опыта обозначим через
i
w – наудачу вытащенный шар имеет номер 20,1, =ii .
Ясно, что рассматриваемым событиям благоприятствуют следующие исходы:
{}
2042
...,,, wwwA = ,
{
}
201312
...,,, wwwB
=
.
По классическому определению вероятности
()
2
1
20
10
==AP
,
()
20
9
=BP
.
Далее имеем:
{}
20131242
...,,...,,, wwwwwBA =+ ⇒
()
10
7
20
14
==+ BAP
;
{}
1042
...,,, wwwBA =− ⇒
()
4
1
20
5
==− BAP
;
{}
201412
...,,, wwwBA =⋅ ⇒
()
4
1
20
5
==⋅ BAP
.
1.3. Использование комбинаторных формул
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Ее понятия используются при
решении почти всех задач на схему с равновозможными исходами [1, п. 1.3; 2, п. 1.4; 4, п. 1.5].
Пример 1.4. Наудачу взятый телефонный номер без нуля впереди состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что
все цифры различны.
Решение. Число всех различных номеров по правилу произведения равно п =
6
109 ⋅ , число номеров с различными
цифрами равно т =
6
9
9 A⋅ . Согласно классической схеме вероятностей, искомая вероятность равна
06048,0
10
456789
109
9
)(
66
6
9
=
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
==
A
n
m
AP .
Р(А) = 1 / 24.

Страницы