Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 2. Стариковская С.М. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задача 1.
Рассмотрев двухуровневую систему с учетом процессов поглощения, вынуж-
денного и спонтанного испускания, получить выражение для спектрального
распределения яркости излучения при термодинамическом равновесии в систе-
ме (формулу Планка). Учесть: 1) что в равновесии соотношение между заселен-
ностями состояний выражается формулой Больцмана (N
2
/N
1
= g
2
/g
1
e
−hν/kT
);
2) что в классическом пределе (при hν << kT ) спектральное распределение
плотности излучения дается формулой Рэлея – Джинса u
ν
=
8πν
2
c
3
kT.
Решение
Заселенность верхнего уровня
dN
2
dt
= B
12
u
ν
N
1
− B
21
u
ν
N
2
− A
21
N
2
=0
(A
21
+ B
21
u
ν
)N
2
= B
12
u
ν
N
1
C учетом формулы Больцмана
u
ν
=
A
21
N
2
B
12
N
1
− B
21
N
2
;
u
ν
=
A
21
g
1
B
12
e
hν/kT
/g
2
− B
21
N
2
.
Получим соотношение между коэффициентами Эйнштейна.
Устремим T →∞. Поскольку в данном случае мы подводим к телу бесконеч-
ную мощность, спектральная плотность излучения тоже должна стремиться к
∞.
Следовательно (с учетом того, что e
hν/kT
→ 1), получим для B
12
и B
21
:
g
1
B
12
= g
2
B
21
Тогда
u
ν
=
A
21
B
21
(e
hν/kT
− 1
.
Теперь рассмотрим другой предел – по частоте. При ν → 0 справедливо
hν << kT . В этом пределе справедлива классическая формула Рэлея – Джинса
и то, что e
hν/kT
≈ 1+hν/kT . Следовательно,
A
21
=
8πhν
3
c
3
B
21
В конечном итоге для спектральной плотности излучения получим
Ответ:
u
ν
=
8πhν
3
c
3
·
1
(e
hν/kT
− 1)
Выпишем формулу Планка через длины волн:
u
ν
dν =
8πhν
3
c
3
·
1
(e
hν/kT
− 1)
dν; d|ν| = d
c
|λ|
=
cdλ
λ
2
; (1.23)
14
Задача 1.
   Рассмотрев двухуровневую систему с учетом процессов поглощения, вынуж-
денного и спонтанного испускания, получить выражение для спектрального
распределения яркости излучения при термодинамическом равновесии в систе-
ме (формулу Планка). Учесть: 1) что в равновесии соотношение между заселен-
ностями состояний выражается формулой Больцмана (N2 /N1 = g2 /g1 e−hν/kT );
2) что в классическом пределе (при hν << kT ) спектральное распределение
                                                               2
плотности излучения дается формулой Рэлея – Джинса uν = 8πν c3
                                                                 kT.
Решение
   Заселенность верхнего уровня
                   dN2
                       = B12 uν N1 − B21 uν N2 − A21 N2 = 0
                    dt

                         (A21 + B21 uν )N2 = B12 uν N1
  C учетом формулы Больцмана
                                         A21 N2
                            uν =                    ;
                                    B12 N1 − B21 N2
                                           A21
                        uν =                                  .
                               g1 B12 ehν/kT /g2   − B21 N2
  Получим соотношение между коэффициентами Эйнштейна.
  Устремим T → ∞. Поскольку в данном случае мы подводим к телу бесконеч-
ную мощность, спектральная плотность излучения тоже должна стремиться к
∞.
  Следовательно (с учетом того, что ehν/kT → 1), получим для B12 и B21 :

                                 g1 B12 = g2 B21
  Тогда
                                          A21
                             uν =                   .
                                    B21 (ehν/kT − 1
   Теперь рассмотрим другой предел – по частоте. При ν → 0 справедливо
hν << kT . В этом пределе справедлива классическая формула Рэлея – Джинса
и то, что ehν/kT ≈ 1 + hν/kT . Следовательно,

                                    8πhν 3
                                A21 =      B21
                                      c3
  В конечном итоге для спектральной плотности излучения получим
  Ответ:
                              8πhν 3        1
                         uν =        · hν/kT
                                c 3   (e       − 1)
  Выпишем формулу Планка через длины волн:
                                                                       
                   8πhν 3       1                                  c            cdλ
           uν dν =        · hν/kT      dν;         d|ν| = d                 =       ;   (1.23)
                     c 3   (e     − 1)                            |λ|            λ2


                                        14

Страницы