Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 1. Стариковская С.М. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

тегрируем полученное выражение по z от −∞ до ∞, принимая
во внимание, что
∞
−∞
e
−z
2
/2
dz =
√
2π:
P (x + y, z) ∼ exp
−
(x + y)
2
2(σ
2
x
+ σ
2
y
)
(2.46)
Фактически, мы получили, что значения x + y распределены
нормально с шириной
σ
2
x
+ σ
2
y
, как и ожидалось.
Рассмотрим более общий случай. Пусть мы измеряем две неза-
висимые величины x и y, наблюдаемые значения которых рас-
пределены нормально, и вычисляем некоторую их функцию q(x, y).
В пределе малых отклонений можно записать
q(x, y) ≈ q(X, Y )+
∂q
∂x
X,Y
(x − X)+
∂q
∂y
X,Y
(y −Y ) (2.47)
Проанализируем полученное выражение. Первый член в сум-
ме – фиксированное число, он может только смещать распре-
деление, но не дает разброса. Второй – фиксированное число
∂q/∂x, умноженное на (x − X), распределенное с шириной σ
x
.
Значит, итоговое распределение для данной величины будет иметь
ширину (∂q/∂x)σ
x
. Аналогично определим разброс для третьего
члена: (∂q/∂y)σ
y
. Тогда получим, что итоговая величина q(x, y)
распределена нормально около истинного значения q(X, Y ) с
шириной
∂q
∂x
σ
x
2
+
∂q
∂y
σ
y
2
(2.48)
Таким образом, мы с вами получили математическое обосно-
вание для правил сложения ошибок.
Задача 5. В эксперименте были получены значения начальной
и конечной энергии системы, участвующей в ядерной реакции:
E
i
=75±3 Мэв; E
f
=60±9 Мэв. Является ли это отличие значи-
мым на 5%-ном уровне? Означает ли это, что закон сохранения
энергии не выполняется? (erf(1.6) = 89%)
Решение
E
f
− E
i
=15; δ =9.5 (2.49)
Полученное значение отличается на 15/9.5, или на 1.6 стан-
дартных отклонений. Поскольку вероятность попасть в подоб-
ный или больший разброс составляет 11%, данный результат,
вообще говоря, не означает, что закон сохранения энергии не
выполняется.
Таким образом, настоящий семинар представляет собой крат-
кое обобщение материала из курсов общей физики, теории ве-
роятности и статистической физики, относящегося к оценке по-
грешностей эксперимента. Хотелось бы еще раз напомнить слу-
шателям, что анализ возможных ошибок – как систематических,
21
тегрируем полученное выражение по z от −∞ до ∞, принимая
                 ∞ −z 2 /2     √
во внимание, что   e        dz = 2π:
                −∞
                                    (x + y)2
               P (x + y, z) ∼ exp −                    (2.46)
                                   2(σx2 + σy2 )
   Фактически, мы получили,
                            что значения x + y распределены
нормально с шириной σx + σy2 , как и ожидалось.
                        2

   Рассмотрим более общий случай. Пусть мы измеряем две неза-
висимые величины x и y, наблюдаемые значения которых рас-
пределены нормально, и вычисляем некоторую их функцию q(x, y).
В пределе малых отклонений можно записать
                                                 
                      ∂q                   ∂q
 q(x, y) ≈ q(X, Y ) +            (x − X) +                    (y − Y ) (2.47)
                      ∂x   X,Y
                                           ∂y           X,Y

   Проанализируем полученное выражение. Первый член в сум-
ме – фиксированное число, он может только смещать распре-
деление, но не дает разброса. Второй – фиксированное число
∂q/∂x, умноженное на (x − X), распределенное с шириной σx .
Значит, итоговое распределение для данной величины будет иметь
ширину (∂q/∂x)σx . Аналогично определим разброс для третьего
члена: (∂q/∂y)σy . Тогда получим, что итоговая величина q(x, y)
распределена нормально около истинного значения q(X, Y ) с
шириной
                     
                               2           2
                      ∂q           ∂q
                     
                          σx +         σy              (2.48)
                       ∂x           ∂y
   Таким образом, мы с вами получили математическое обосно-
вание для правил сложения ошибок.
Задача 5. В эксперименте были получены значения начальной
и конечной энергии системы, участвующей в ядерной реакции:
Ei = 75±3 Мэв; Ef = 60±9 Мэв. Является ли это отличие значи-
мым на 5%-ном уровне? Означает ли это, что закон сохранения
энергии не выполняется? (erf (1.6) = 89%)
Решение

                  Ef − Ei = 15 ;   δ = 9.5             (2.49)
   Полученное значение отличается на 15/9.5, или на 1.6 стан-
дартных отклонений. Поскольку вероятность попасть в подоб-
ный или больший разброс составляет 11%, данный результат,
вообще говоря, не означает, что закон сохранения энергии не
выполняется.
   Таким образом, настоящий семинар представляет собой крат-
кое обобщение материала из курсов общей физики, теории ве-
роятности и статистической физики, относящегося к оценке по-
грешностей эксперимента. Хотелось бы еще раз напомнить слу-
шателям, что анализ возможных ошибок – как систематических,

                                          21

Страницы