Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 1. Стариковская С.М. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.6: Нормальный интеграл ошибок
2.1.4 Вычисление погрешности в комплексных измере-
ниях
Обоснуем математически квадратичное сложение ошибок в слу-
чае сложения величин. Пусть для простоты средние значения X
и Y равны нулю, вероятность получения того или иного значе-
ния представляет Гауссову функцию с шириной, соответственно,
σ
x
или σ
y
. Найдем погрешность определения величины X + Y .
Вероятность получения любого значения x и y
P (x) ∼ e
−
x
2
2σ
2
x
; P (y) ∼ e
−
x
2
2σ
2
y
(2.42)
Тогда вероятность получения одновременно любого частного
значения x + y определится как произведение вероятностей:
P (x + y) ∼ e
−
1
2
x
2
σ
2
x
+
y
2
σ
2
y
(2.43)
Выделим из данного выражения сумму x + y, пользуясь сле-
дующим соотношением:
x
2
A
+
y
2
B
=
B(A + B)x
2
+ A(A + B)y
2
AB(A + B)
=
(x + y)
2
A + B
+ z, (2.44)
и будем рассматривать вероятность получения данных значений
x и y как вероятность получения данных значений x+y и z.Тогда
P (x + y, z) ∼ exp
−
(x + y)
2
2(σ
2
x
+ σ
2
y
)
−
z
2
2
(2.45)
Найдем вероятность получения данного значения x+y безот-
носительно к тому, какое значение примет z. Для этого проин-
20
              Рис. 2.6: Нормальный интеграл ошибок


2.1.4   Вычисление погрешности в комплексных измере-
        ниях
Обоснуем математически квадратичное сложение ошибок в слу-
чае сложения величин. Пусть для простоты средние значения X
и Y равны нулю, вероятность получения того или иного значе-
ния представляет Гауссову функцию с шириной, соответственно,
σx или σy . Найдем погрешность определения величины X + Y .
Вероятность получения любого значения x и y
                                  x2                              x2
                             −                               −
                 P (x) ∼ e                  P (y) ∼ e
                                    2                            2σy2
                                 2σx
                                        ;                               (2.42)
   Тогда вероятность получения одновременно любого частного
значения x + y определится как произведение вероятностей:
                                                   x2   y2
                                            − 12    2 + σ2
                    P (x + y) ∼ e                  σx    y              (2.43)
  Выделим из данного выражения сумму x + y, пользуясь сле-
дующим соотношением:

   x2 y 2   B(A + B)x2 + A(A + B)y 2   (x + y)2
     +    =                          =          + z,                    (2.44)
   A   B          AB(A + B)             A+B
и будем рассматривать вероятность получения данных значений
x и y как вероятность получения данных значений x+y и z. Тогда

                                              (x + y)2       z2
             P (x + y, z) ∼ exp −                          −            (2.45)
                                             2(σx2 + σy2 )   2
   Найдем вероятность получения данного значения x + y безот-
носительно к тому, какое значение примет z. Для этого проин-


                                                     20

Страницы