Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 1. Стариковская С.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.5: Различие распределений при разной точности измерений
Подобная функция называется Гауссовой или гауссианом и
представляется как
f(x) ∼ e
−x
2
/(2σ
2
)
, (2.32)
где σ – некий фиксированный параметр, определяющий, соб-
ственнно, ширину функции. В общем случае среднее значение
не должно находиться в нуле, поэтому заменим x на x − X:
f(x) ∼ e
−(x−X)
2
/(2σ
2
)
(2.33)
Далее потребуем выполнения условия нормировки
∞
−∞
f(x)dx =
∞
−∞
Ne
−(x−X)
2
/(2σ
2
)
dx =1 (2.34)
и определим значение нормировочной константы N. Сделаем за-
мену переменных z =(x − X)/σ.Тогдаdx = σdz, а уравнение
(2.34) перепишется как
∞
−∞
f(x)dx = Nσ
∞
−∞
e
−z
2
/2
dz =1 (2.35)
Известно, что
∞
−∞
e
−z
2
/2
dz =
√
2π (2.36)
Тогда окончательно для нормировочного множителя получим
∞
−∞
f(x)dx = Nσ
(2π)=1; N =
1
σ
√
2π
(2.37)
и окончательное представление Гауссовой функции запишет-
ся как
18
   Рис. 2.5: Различие распределений при разной точности измерений


  Подобная функция называется Гауссовой или гауссианом и
представляется как

                              f (x) ∼ e−x
                                                 2 /(2σ 2 )
                                                              ,                 (2.32)
   где σ – некий фиксированный параметр, определяющий, соб-
ственнно, ширину функции. В общем случае среднее значение
не должно находиться в нуле, поэтому заменим x на x − X:

                            f (x) ∼ e−(x−X)
                                                      2 /(2σ 2 )
                                                                                (2.33)
  Далее потребуем выполнения условия нормировки
                ∞                ∞
                                        N e−(x−X)
                                                          2 /(2σ 2 )
                     f (x)dx =                                         dx = 1   (2.34)
             −∞                   −∞

и определим значение нормировочной константы N . Сделаем за-
мену переменных z = (x − X)/σ. Тогда dx = σdz, а уравнение
(2.34) перепишется как
                     ∞                         ∞
                                                     e−z
                                                           2 /2
                          f (x)dx = N σ                           dz = 1        (2.35)
                  −∞                           −∞

Известно, что
                             ∞                       √
                                  e−z
                                        2 /2
                                               dz =       2π                    (2.36)
                             −∞

  Тогда окончательно для нормировочного множителя получим
            ∞                                                       1
                 f (x)dx = N σ (2π) = 1;                          N= √          (2.37)
           −∞
                                                                    σ 2π
   и окончательное представление Гауссовой функции запишет-
ся как

                                                          18

Страницы