Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 1. Стариковская С.М. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x)=
1
σ
√
2π
e
−
(x−X)
2
2σ
2
(2.38)
Теперь можно строго показать, что среднее значение получен-
ной функции <x>=
∞
−∞
f(x)dx = X, а стандартное отклонение
σ
2
x
=
∞
−∞
(x− <x>)
2
f(x)dx = σ
2
, то есть параметр ширины
функции Гаусса есть стандартное отклонение, ожидаемое в слу-
чае бесконечного числа измерений.
Задача 5. При заданных условиях проведения эксперимента соб-
ственный шум измерительной системы характеризуется средне-
квадратичным отклонением σ =0.3 мВ. Отклонение шумов изу-
чаемого процесса составляет σ
0
=2мВ. Можно ли считать, что
измерительная система
Решение
2.1.3 Доверительный интервал. Интеграл ошибок.
Вычислим вероятность того, что результат единичного измере-
ния окажется в пределах одного отклонения σ от среднего зна-
чения X. Эта вероятность равна
P =
X+σ
X−σ
f(x)dx =
1
σ
√
2π
X+σ
X−σ
e
−
(x−X)
2
2σ
2
dx (2.39)
Сделаем опять подстановку z =(x−X)/σ, dx = σdz, пределы
интегрирования z = ±1.Тогда
P =
1
√
2π
1
−1
e
−
z
2
2
dz (2.40)
Интеграл
erf(t)=
1
√
2π
t
−t
e
−
z
2
2
dz (2.41)
хорошо известен в математической физике и называется инте-
гралом ошибок. Он не вычисляется аналитически, но может быть
рассчитан. Из графика erf(t), представленного на рис.2.6, вид-
но, что erf(1) = 0.68.Таким образом, полуширина функции Гаус-
са σ – это 70%-ный доверительный интервал, то есть вероятность
того, что в произвольном измерении отклонение измеренной ве-
личины от истинного значения не превышает стандартного от-
клонения σ, равна 70%.
Согласитесь, этот результат вселяет некий оптимизм. Дей-
ствительно, в 70% случаев мы получаем в измерении величину,
удаленную от среднего значения не более, чем на полуширину
разброса.
19
                            1      (x−X)2
                   f (x) = √     e− 2σ2                 (2.38)
                          σ 2π
  Теперь можно строго показать, что среднее значение получен-
                              ∞
ной функции < x >=                 f (x)dx = X, а стандартное отклонение
                             −∞
        ∞
σx2 =        (x− < x >)2 f (x)dx = σ 2 , то есть параметр ширины
        −∞
функции Гаусса есть стандартное отклонение, ожидаемое в слу-
чае бесконечного числа измерений.
Задача 5. При заданных условиях проведения эксперимента соб-
ственный шум измерительной системы характеризуется средне-
квадратичным отклонением σ = 0.3 мВ. Отклонение шумов изу-
чаемого процесса составляет σ0 = 2 мВ. Можно ли считать, что
измерительная система
Решение

2.1.3    Доверительный интервал. Интеграл ошибок.
Вычислим вероятность того, что результат единичного измере-
ния окажется в пределах одного отклонения σ от среднего зна-
чения X. Эта вероятность равна
                      
                      X+σ                 
                                          X+σ
                                       1        (x−X)2
                P =         f (x)dx = √       e− 2σ2 dx           (2.39)
                                     σ 2π
                      X−σ                         X−σ

  Сделаем опять подстановку z = (x−X)/σ, dx = σdz, пределы
интегрирования z = ±1. Тогда
                                         1
                                  1        z2
                              P =√       e− 2 dz                  (2.40)
                                   2π −1
  Интеграл

                                       1  − z2
                                              t

                            erf (t) = √       e 2 dz              (2.41)
                                        2π −t
хорошо известен в математической физике и называется инте-
гралом ошибок. Он не вычисляется аналитически, но может быть
рассчитан. Из графика erf (t), представленного на рис.2.6, вид-
но, что erf (1) = 0.68.Таким образом, полуширина функции Гаус-
са σ – это 70%-ный доверительный интервал, то есть вероятность
того, что в произвольном измерении отклонение измеренной ве-
личины от истинного значения не превышает стандартного от-
клонения σ, равна 70%.
   Согласитесь, этот результат вселяет некий оптимизм. Дей-
ствительно, в 70% случаев мы получаем в измерении величину,
удаленную от среднего значения не более, чем на полуширину
разброса.

                                                   19

Страницы