Экологическая геодинамика. Стародубцев В.С. - 13 стр.

                                                                      k ф h ср
                                                             а=                      .
                                  μ
    Используем метод конечных разностей, заменим соответствующие
производные их разностными аналогами.
Первую производную можно заменить
                                                        dh                 h i −h        i −1
                                                               x~xi   ≈                         ,                                              (2)
                                                        dx                        Δx
где ∇x – шаг по оси X, а вторую производную – выражением
                                             d2h                      h   i −1   − 2h i + h         i +1
                                                                 ≈                                         .                                   (3)
                                             dx 2
                                                        x~xi
                                                                                  Δx     2


     Для удобства примем следующую индексацию узлов:
                        по Х          – i = 1,…,7,
                        по Y          – j = 1,…,9,
                        по времени    – t = 1,…,T,
где Т – время прогноза.
      Получим
           h   t +1
                      −h    t           ⎛ ht       − 2h it, j + h ti +1, j                      h ti1, j −1 − 2h it, j + h1,
                                                                                                                          t       ⎞
               i, j         i, j
                                        ⎜  i −1, j                                                                           j +1 ⎟
                                   =а                                                  +                                            .          (4)
                  Δt                    ⎜
                                        ⎝            Δx2                                                      Δx2                 ⎟
                                                                                                                                  ⎠
     Обратим внимание на то, что шаг по X равен шагу по Y, поэтому у
второй производной по Y стоит в знаменателе ∇ x2, вместо ∇ y2
     Перенесем ∇ t и h it, j вправо, а также вынесем ∇ x2 за скобки, получим
     h it,+j1 =       h it, j +
                                   a ⋅Δ t
                                   Δx2
                                         (h   t
                                              i −1, j   − 2h it, j + h it+1, j               +       h it1, j−1 − 2h it, j + h 1t , j+1   ).   (5)
      Следует определить критерий устойчивости явной разностной схемы
a ⋅Δ t                                       1
       , который должен быть меньше или равен , т. е.
Δ x 2
                                             4
                               a ⋅Δ t 1
                                     ≤ .                           (6)
                               Δx2     4
      В случае его несоответствия следует изменить шаг по времени или
по пространственным координатам.
      Для однозначного решения дифференциальных уравнений геофильт-
рации необходимо задание краевых условий – начальные значения искомой
функции и значения функции на границах. Так как в наших задачах иско-
мой функцией является функция напора Н, то краевые условия записыва-
ются для функции Н или ее производных.
      Краевые условия задаются для конкретной области фильтрации –
участка земной коры, приуроченного к водоносному горизонту (комплек-
су) и оконтуренного некоторыми гидродинамическими границами и рас-


                                                                             13