ВУЗ:
Составители:
ЧАСТЬ 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Введение
Математическая логика – естественнонаучная дисциплина, изучающая
математические доказательства и вопросы оснований математики.
Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности.
Начало формальной логики как науки о структуре суждений и умозаключений
связано с именем Аристотеля (IV в. до н. э.). Дедуктивные умозаключения, в
которых из двух суждений следует новое суждение – силлогизмы – были про-
ведены Аристотелем на категорических суждениях – суждениях типа:
А – общеутвердительное суждение «Всякое S суть Р»;
Е – общеотрицательное суждение «Никакое S не суть Р»;
I – частноутвердительное суждение «Некоторые S суть Р»;
О – частноотрицательное суждение «Некоторые S не суть Р».
Пример «первой фигуры» силлогизма: «Все люди смертны. Кай – чело-
век. Следовательно, Кай смертен.»
Первый этап развития формальной логики – традиционная логика – дли-
лся два тысячелетия. Второй этап – современная логика - длится поныне. Дру-
гие имена этого этапа – символическая логика или математическая логика. Ос-
новы современной формальной логики заложили (середина XIX – начало
XXв.в.) Дж. Буль, О. Морган, Г. Фреге, Дж. Пеано.
Традиционная логика опиралась на естественный язык, который из-за
многозначности и аморфности требований к построению выражений и прида-
ния им смысла приводит к парадоксам. В средние века был распространен па-
радокс: “Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ. – Сказанное Сократом
– истинно, - говорит Платон”. Современная логика использует формальные те-
ории (ФТ), или исчисления.
Формальные теории описывают любые множества с заданными на них
отношениями с помощью аксиом и правил вывода. С логической точки зрения
наиболее существенными свойствами формальных теорий являются непроти-
воречивость, полнота и разрешимость. Исчисление называется непротиворечи-
вым, если в нем не выводимы одновременно какое-либо высказывание и его
отрицание. Исчисление, формализующее некоторую теорию, называется по-
лным относительно этой теории, если множество истинных утверждений тео-
рии совпадает с множеством высказываний, выводимых в данном исчислении.
Исчисление называется разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий
для любого высказывания определить, выводимо оно в этом исчислении или
нет. Формальные теории являются развитием аксиоматического метода, приоб-
ретшего известность благодаря «Началам» Евклида (около 330 – 320 гг. до н.
э.). Предпринятое во второй половине XIX в. исследование аксиом евклидовой
геометрии (ЕГ) показало, что система аксиом, данная в «началах» не полна. В
1899 г. Дж. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику ЕГ.
К 1922 г. у Гильберта сложился план обоснования всей математики путем ее
полной формализации и последующим «метаматематическим» доказательством
ЧАСТЬ 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Введение
Математическая логика – естественнонаучная дисциплина, изучающая
математические доказательства и вопросы оснований математики.
Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности.
Начало формальной логики как науки о структуре суждений и умозаключений
связано с именем Аристотеля (IV в. до н. э.). Дедуктивные умозаключения, в
которых из двух суждений следует новое суждение – силлогизмы – были про-
ведены Аристотелем на категорических суждениях – суждениях типа:
А – общеутвердительное суждение «Всякое S суть Р»;
Е – общеотрицательное суждение «Никакое S не суть Р»;
I – частноутвердительное суждение «Некоторые S суть Р»;
О – частноотрицательное суждение «Некоторые S не суть Р».
Пример «первой фигуры» силлогизма: «Все люди смертны. Кай – чело-
век. Следовательно, Кай смертен.»
Первый этап развития формальной логики – традиционная логика – дли-
лся два тысячелетия. Второй этап – современная логика - длится поныне. Дру-
гие имена этого этапа – символическая логика или математическая логика. Ос-
новы современной формальной логики заложили (середина XIX – начало
XXв.в.) Дж. Буль, О. Морган, Г. Фреге, Дж. Пеано.
Традиционная логика опиралась на естественный язык, который из-за
многозначности и аморфности требований к построению выражений и прида-
ния им смысла приводит к парадоксам. В средние века был распространен па-
радокс: “Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ. – Сказанное Сократом
– истинно, - говорит Платон”. Современная логика использует формальные те-
ории (ФТ), или исчисления.
Формальные теории описывают любые множества с заданными на них
отношениями с помощью аксиом и правил вывода. С логической точки зрения
наиболее существенными свойствами формальных теорий являются непроти-
воречивость, полнота и разрешимость. Исчисление называется непротиворечи-
вым, если в нем не выводимы одновременно какое-либо высказывание и его
отрицание. Исчисление, формализующее некоторую теорию, называется по-
лным относительно этой теории, если множество истинных утверждений тео-
рии совпадает с множеством высказываний, выводимых в данном исчислении.
Исчисление называется разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий
для любого высказывания определить, выводимо оно в этом исчислении или
нет. Формальные теории являются развитием аксиоматического метода, приоб-
ретшего известность благодаря «Началам» Евклида (около 330 – 320 гг. до н.
э.). Предпринятое во второй половине XIX в. исследование аксиом евклидовой
геометрии (ЕГ) показало, что система аксиом, данная в «началах» не полна. В
1899 г. Дж. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику ЕГ.
К 1922 г. у Гильберта сложился план обоснования всей математики путем ее
полной формализации и последующим «метаматематическим» доказательством
