Математическая логика и теория алгоритмов. Стенюшкина В.А. - 4 стр.

непротиворечивости формализованной математики. А в 1931 году К. Геделем
была доказана теорема о неполноте арифметики, из которой следовало, что для
достаточно богатых по содержанию математических теорий не существует аде-
кватных формализаций. Тем не менее, вся дальнейшая работа над логическими
основаниями математики в большой мере идет по путям, намеченным Гильбер-
том. Дело в том, что на практике формальные теории, описывающие содержа-
тельные объекты, задаются с помощью собственных аксиом, которые наряду с
собственно предикатами и функторами содержат предикаты и функторы, свой-
ства которых аксиомами не описываются, а считаются известными в данной
теории.
       Язык, который мы изучаем (в данном случае язык ФТ), называется язы-
ком–объектом, а язык, на котором мы формулируем и доказываем различные
результаты об этом языке – объекте, называется метаязыком. (Этот метаязык
сам мог бы быть формализован и стать предметом исследования, которое, в
свою очередь, проводилось бы на некотором метаязыке, и т. д.). Различию меж-
ду «выводом в языке–объекте» и «доказательством в метаязыке» соответствует
различие между теоремой языка – объекта и метатеоремой языка. Слово «мета-
математика» употребляется, в частности, как название исследований логичес-
ких и математических языков–объектов.
       Предмет математической логики разнообразен. Раздел математической
логики, включающий классическую логику высказываний (алгебру высказыва-
ний и исчисление высказываний) и классическую логику предикатов (алгебру
предикатов и исчисление предикатов), называется классической логикой. Клас-
сическая логика придерживается принципа двузначности, в соответствии с ко-
торым любое высказывание является либо истинным, либо ложным. Сущест-
вуют также разнообразные неклассические логики. Среди них многозначные
логики, интуиционистская логика, логика причинности, логика времени, деон-
тическая логика. В целом задача неклассических логик – более полно описать
те элементы логической формы рассуждений, которые упускаются классичес-
кой логикой. В то же время классическая логика остается ядром современной
логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость.
       Математическая логика – одна из дисциплин, составляющих теоретиче-
ский фундамент информатики. Из логических исследований возникло понятие
алгоритма, на котором базируется программирование, проектирование вычис-
лительных машин и автоматизированных систем управления. В вычислитель-
ной технике и автоматике используются логические схемы – устройства, пре-
образующие двоичные сигналы. Логические методы применяются при построе-
нии баз данных. Важна роль логики в исследованиях по искусственному интел-
лекту и создании роботов.
       В настоящее время математическая логика внедряется в экономику и
право, биологию и медицину, языкознание и психологию, статистику и комби-
наторный анализ. Аппарат математической логики универсален.

      1 Алгебра высказываний