Составители:
43
ма. Для его нахождения необходимо вычислить вторые чистые и сме-
шанные производные критериальной функции
22 2 2 2 2 2 2
22 2
12 13 1 23 1
12
, , ..., , , , ..., , , ..., .
nnn
n
EE E E E E E E
xx xx xx x x x x
xx x
−
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂
Достаточное условие существования локального экстремума фор-
мулируется следующим образом [13]: пусть функция
()
12
, ,...,
n
EExx x=
имеет критическую точку
()
00 0
12
, ,...,
n
xx x
, определяемую за счет вычис-
ления выражений (3.7). Тогда, если дифференциал второго порядка
()
2
200 0
12
11
, ,..., ,
nn
nij
ij
ij
E
d
Ex x x x x
xx
==
∂
=∆∆
∂∂
∑∑
(3.8)
больше нуля, то функция
()
12
, ,...,
n
EExx x=
имеет минимум, а если
выражение (3.8) отрицательно, то функция
()
12
, ,...,
n
EExx x=
имеет
максимум при любых ∆x
i
и ∆x
j
, не обращающихся в нуль одновремен-
но. Если в зависимости от ∆x
i
и ∆x
j
выражение (3.8) может принимать и
положительные, и отрицательные значения, то экстремума в критичес-
кой точке нет. Если функция (3.6) имеет несколько экстремумов, то их
обычно называют локальными. В качестве оптимального решения вы-
бирается решение, соответствующее локальному экстремуму с наиболь-
шим (наименьшим) значением критериальной функции.
В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных
442
2
12 1 2 1 12
2
(, ) 2Ex x x x x xx x=+−− −
. Приравняем к нулю ее первые час-
тные производные
3
112
1
3
212
2
4220,
4220.
E
xxx
x
E
xxx
x
∂
=−−=
∂
∂
=−−=
∂
Вычитая из первого уравнения второе, имеем
33
12
4
4
0
xx−=
, откуда
1
2
x
x
=
. Подставляя в выражения для частных производных, имеем
3
11
4
4
0
xx−=
. Получившееся уравнение имеет три решения: 0, 1, –1.
Тогда критическими точками являются Е(0,0), Е(1,1) и Е(–1,–1).
Вторые частные производные имеют вид
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
