Практикум по теории систем и системному анализу. Светлов Н.М. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГАУ-МСХА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
ТЕМА 2. ПРИВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ К ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ
Теоретическая часть
Для приведения числовых переменных системы к дискретной форме
проводится их статистический анализ, преследующий цели:
¨ снизить энтропию модели до уровня, обусловленного целями ис-
следования;
¨ повысить достоверность определения вероятности каждого со-
стояния модели.
Один из приёмов приведения числовых переменных к дискретной
форме состоит в разбиении интервала вариации переменной на кванти-
ли — интервалы, обладающие тем свойством, что вероятности попадания
значения переменной в каждый из них равны. На практике часто выделя-
ют квартили приближённо, пользуясь непосредственно эмпирическими
данными. Однако во многих (хотя не во всех) случаях использование тео-
ретического знания о законе распределения исследуемой переменной в до-
полнение к имеющимся опытным данным (часто ограниченным и не всегда
достоверным) позволяет несколько повысить точность разбиения, а значит,
и достоверность результатов системного анализа. В этом случае следует:
¨ определить число наблюдений исследуемой переменной (N).
¨ разбить интервал вариации переменной на N аналитических ин-
тервалов, определить число наблюдений в каждом аналитическом интерва-
ле, выдвинуть гипотезу о характере статистического распределения вариа-
ции переменной и проверить её (см. Приложение 2);
¨ определить число квантилей, учитывая требования снижения эн-
тропии модели и обеспечения достаточной точности её результатов;
¨ выделить квантили.
Для выделения квантилей используется алгоритм, приведённый ни-
же.
¨ Определить вероятность p = 1 / Q того, что значение перемен-
ной принадлежит требуемой квантили (Q — число квантилей).
¨ Определить верхнюю границу x
1
первой квантили из уравнения
1
(),
x
a
fxdxp
=
ò
(1)
22
где f(x) — функция плотности распределения вероятностей значений
переменной, a — нижняя граница области определения f (x), x
1
— верхняя
граница первой квантили. Если известны значения функции распределе-
ния вероятностей F(x), то следует решить относительно x
1
уравнение
F(x
1
) – F(a) = p.
¨ Определить верхнюю границу следующей квантили из уравнения
õ
ó
x
a
x
b
f (x) dx = p,
(2)
где x
a
— верхняя граница предыдущей, x
b
— искомая верхняя граница
данной квантили.
Если определены границы N–1-й квантили, перейти следующему
шагу; иначе повторить предыдущий.
¨ Убедиться, что имеет место равенство
õ
ó
x
a
β
f (x) dx = p
(3)
(β — верхняя граница области определения f (x)). Расхождение, обуслов-
ленное ограниченной точностью численных методов, не должно быть
слишком большим.
После разбивки интервала вариации на квантили каждое значение
переменной заменяется номером квантили, которой оно соовтетствует.
В результате получаем отображение непрерывного множества значений
переменной на конечное дискретное множество значений. Это впоследст-
вии обеспечит требуемую уровень грубости (робастности) модели анали-
зируемой системы, обеспечивающую её работоспособность при ограничен-
ной эмпирической базе для её разработки.
Библиографический список
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся ВТУЗов. М, 1980. 
                                                                          где f(x) — функция плотности распределения вероятностей значений
            ТЕМА 2. ПРИВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ
          ПЕРЕМЕННЫХ К ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ                                   переменной, a — нижняя граница области определения f (x), x1 — верхняя
                                                                          граница первой квантили. Если известны значения функции распределе-
                                                                          ния вероятностей F(x), то следует решить относительно x1 уравнение
                       Теоретическая часть
                                                                          F(x1) – F(a) = p.
      Для приведения числовых переменных системы к дискретной форме             ¨ Определить верхнюю границу следующей квантили из уравнения
проводится их статистический анализ, преследующий цели:                                        xb
      ¨ снизить энтропию модели до уровня, обусловленного целями ис-                           ó f (x) dx = p,
                                                                                               õ                                             (2)
следования;                                                                                    xa
      ¨ повысить достоверность определения вероятности каждого со-
стояния модели.                                                           где xa — верхняя граница предыдущей, xb — искомая верхняя граница
      Один из приёмов приведения числовых переменных к дискретной
форме состоит в разбиении интервала вариации переменной на кванти-        данной квантили.
ли — интервалы, обладающие тем свойством, что вероятности попадания             Если определены границы N–1-й квантили, перейти следующему
значения переменной в каждый из них равны. На практике часто выделя-      шагу; иначе повторить предыдущий.
ют квартили приближённо, пользуясь непосредственно эмпирическими                ¨ Убедиться, что имеет место равенство
данными. Однако во многих (хотя не во всех) случаях использование тео-                               β
ретического знания о законе распределения исследуемой переменной в до-                               ó f (x) dx = p                          (3)
                                                                                                     õ
полнение к имеющимся опытным данным (часто ограниченным и не всегда                                  xa
достоверным) позволяет несколько повысить точность разбиения, а значит,
и достоверность результатов системного анализа. В этом случае следует:    (β — верхняя граница области определения f (x)). Расхождение, обуслов-
      ¨ определить число наблюдений исследуемой переменной (N).
                                                                          ленное ограниченной точностью численных методов, не должно быть
      ¨ разбить интервал вариации переменной на N аналитических ин-
тервалов, определить число наблюдений в каждом аналитическом интерва-     слишком большим.
ле, выдвинуть гипотезу о характере статистического распределения вариа-         После разбивки интервала вариации на квантили каждое значение
ции переменной и проверить её (см. Приложение 2);                         переменной заменяется номером квантили, которой оно соовтетствует.
      ¨ определить число квантилей, учитывая требования снижения эн-      В результате получаем отображение непрерывного множества значений
тропии модели и обеспечения достаточной точности её результатов;          переменной на конечное дискретное множество значений. Это впоследст-
      ¨ выделить квантили.                                                вии обеспечит требуемую уровень грубости (робастности) модели анали-
      Для выделения квантилей используется алгоритм, приведённый ни-      зируемой системы, обеспечивающую её работоспособность при ограничен-
же.                                                                       ной эмпирической базе для её разработки.
      ¨ Определить вероятность p = 1 / Q того, что значение перемен-
                                                                                Библиографический список
ной принадлежит требуемой квантили (Q — число квантилей).
      ¨ Определить верхнюю границу x1 первой квантили из уравнения
                                                                               Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
                                                                          инженеров и учащихся ВТУЗов. М, 1980.
                             x1

                             ò f ( x)dx = p,
                              a
                                                                    (1)


                                                                    21    22

Страницы