Практикум по теории систем и системному анализу. Светлов Н.М. - 30 стр.

       Плотность бета-распределения задаётся функцией                                      Встроенные функции MathCad не предусматривают перенормирова-
                                            xa -1
                                                    (1 - x )   b -1                  ние случайной величины — оно должно быть выполнено заранее. Плот-
                              p( x) =   1
                                                                         ,           ность бета-распределения вычисляется с помощью формулы
                                        òx
                                            a -1             b -1
                                                   (1 - x)          dx
                                        0                                                                          dbeta(x;a;b),
где a и b — параметры, которые можно определить, зная математическое                 где обозначения соответствуют использованным в формуле плотности рас-
ожидание m и дисперсию s2, по следующим формулам:                                    пределения. Вероятность непревышения заданной величины определяется
                                                                                     по формуле
                          m2 m3           m × ( m - 1) 2
                     a=     -   - m ; b =                + m - 1.
                          s2 s2                s2                                                                  pbeta(x;a;b),
       Равномерное распределение является частным случаем бета-                      а обратное вычисление —
распределения при a=1 и b=1.
       Бета-распределение может быть использовано (при наличии теоре-                                              qbeta(p;a;b),
тических оснований) для моделирования случайных величин, распределён-                где переменная p содержит пороговую вероятность. Поскольку результат
ных на произвольном отрезке [a; b], где a и b имеют содержательную ин-               представляет собой перенормированное значение, получить исходное зна-
терпретацию1. Для этого нужно перенормировать исходную случайную ве-                 чение y можно при помощи следующей формулы:
личину y, распределённую на [a; b], по следующему правилу:
x = (y–a)/(b–a).                                                                                             qbeta(p;a;b)·(b–a)+a,
       В Excel для вычисления плотности бета-распределения потребуется               полагая, что границы a и b хранятся в одноимённых переменных програм-
писать функцию на VBA. Функция бета-распределения может быть вычис-                  мы MathCad.
лена с помощью формулы

         =БЕТАРАСП(Значение;Альфа;Бета;Начало;Конец),                                          2. Проверка согласованности эмпирического и
                                                                                                  теоретического распределений с помощью
где в ячейке под именем Значение хранится значение случайной величи-
                                                                                                                критерия c2
ны y, в ячейке Альфа — параметр a, в ячейке Бета — параметр b, в
ячейке Начало — значение a, в ячейке Конец — значение b. Перенор-
                                                                                           Как правило, критерий c имеет практическое значение для сово-
                                                                                                                      2
мирование величины y производится автоматически.
                                                                                     купностей численностью не менее 40 наблюдений. Для применения данно-
       Определить значение y по заданной веротяности того, что оно не
                                                                                     го критерия интервал вариации случайной величины разбивается на непе-
будет превышено (предположим, оно записано в ячейку под именем Веро-
                                                                                     ресекающиеся классы. О согласии теоретического и эмпирического рас-
ятность), можно с помощью формулы
                                                                                     пределений судят по наблюдаемым различиям в частоте попадания наблю-
        =БЕТАОБР(Вероятность;Альфа;Бета;Начало;Конец).                               дений в каждый класс по сравнению с частотой, которая должна бы была
                                                                                     иметь место, если бы распределение в точности соответствовало теорети-
                                                                                     ческому. Если различия настолько велики, что с достаточно высокой веро-
       1
                                                                                     ятностью1 (обычно в экономических исследованиях требуют, чтобы она
         Например, если коровы массой менее 400 и более 520 кг выбраковываются из
основного стада, то при проверке гипотезы о согласии распределения живой массы ко-
ров с бета-распределением значения a=400, b=520 будут приняты обоснованно. Если
же верхняя граница массы для выбраковки не установлена, достаточных оснований для
                                                                                           1
моделирования эмпирического распределения живой массы с помощью бета-                        Эту пороговую вероятность называют уровнем доверия, или доверительной
распределения нет.                                                                   вероятностью.

                                                                               59    60