Теоретическая механика. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

53
Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции
на ось
x:
∑
=
kx
Fxm
&&
, или F
x
m
−
=
&&
, или cx
x
m
−
=
&&
.
Таким образом, дифференциальное уравнение свободных колебаний
материальной точки имеет вид
0
=+ cx
x
m
&&
. (2.1)
Разделим обе части уравнения (2.1) на
m и введем обозначение
m
c
k =
2
:
0
2
=+
x
k
x
&&
, (2.2)
здесь
m
c
k =
– это круговая (или циклическая) частота колебаний.
Единица изменения циклической частоты – 1/с.
Дифференциальное уравнение (2.2) – однородное линейное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
(второй интеграл) следует искать:
–в тригонометрической форме:
ktCktCx sincos
21
+= , (2.3)
– или в амплитудной:
)sin(
α+= k
t
A
x
, (2.4)
где
ε,,,
21
ACC
– постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования в этих выражениях связаны
следующими соотношениями:
2
2
2
1
CCA += ;
α
=
sin
1
AC ;
α
=
cos
2
AC ;
2
1
tg
C
C
=α .
где
A – амплитуда колебаний,
α
– начальная фаза. 
      Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции
на ось x:

      m&x& =   ∑ Fkx , или m&x& = − F , или m&x& = −cx .
      Таким образом, дифференциальное уравнение свободных колебаний
материальной точки имеет вид
       m&x& + cx = 0 .                                                              (2.1)
                                                                                   c
Разделим обе части уравнения (2.1) на m и введем обозначение k 2 =                   :
                                                                                   m

       &x& + k 2 x = 0 ,                                                            (2.2)

                c
здесь k =         – это круговая (или циклическая) частота колебаний.
                m
Единица изменения циклической частоты – 1/с.
      Дифференциальное            уравнение     (2.2)      –   однородное     линейное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
(второй интеграл) следует искать:
–в тригонометрической форме:
      x = C1 cos kt + C2 sin kt ,                                                   (2.3)

– или в амплитудной:
      x = A sin( kt + α) ,                                                          (2.4)

где C1 , C2 , A, ε – постоянные интегрирования.

      Постоянные           интегрирования       в   этих       выражениях      связаны
следующими соотношениями:
                                                                            C1
                  A = C12 + C22 ; C1 = A sin α ; C2 = A cos α ; tgα =          .
                                                                            C2

где A – амплитуда колебаний, α – начальная фаза.




                                           53

Страницы