Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 27 стр.

    Если достоверно известно, что частица находится в объеме V, то полная
вероятность обнаружения частицы в нем, определяемая суммой всех
вероятностей dW нахождения частицы в элементах объема dV, будет равна
единице (100%). Этот результат даст интегрирование по всему объему V, в
котором находится частица:

                            ∫ ψ ( x, y, z) dV = 1 .
                                         2
                                                                          (1.35)
                           V

Равенство (1.35) называется условием нормировки волновой функции.
     С течением времени состояние системы, а с ним и волновой функции
может меняться, в этом случае волновую функцию необходимо рассматривать
как функцию от времени t: ψ = ψ ( x, y, z, t ) .
     Волновая функция выступает в квантовой механике как основной носитель
информации о состоянии системы. Для случая свободной частицы волновую
функцию можно записать в виде уравнения плоской бегущей волны,
распространяющейся вдоль оси х:
                         ψω     =−
                          (,)cos()
                           xtAtkx                     ,   (1.36)
где А – амплитуда; ω – циклическая частота волновой функции; к – волновое
              2π
число, равное    .
               λ


    Уравнение Шредингера
    В классической механике основным уравнением для расчета движения
является второй закон Ньютона. Основным уравнением в квантовой механике
является уравнение Шредингера, которое позволяет определить волновую
функцию частицы, полностью описывающую ее состояние.
    Для получения этого уравнения воспользуемся гипотезой де Бройля,
согласно которой любой частице сопоставляют волну, длина которой
вычисляется по формуле (1.31). Дважды продифференцируем волновую
функцию (1.36) по времени:
                         d 2ψ
                              =−⋅−=−⋅
                                  22
                                      cos()ωψ
                                 kAtkxk                       . (1.37)
                         dx 2
Квадрат волнового числа к можно преобразовать следующим образом:
                            (2π ) 2 4π 2 m 2 v 2 2m
                       k =
                         2
                                   =            = 2 Eкин ,  (1.38)
                              λ2       h2        h
         h
где h =    – постоянная Планка с чертой.
        2π
                                                                          h
В формуле (1.38) длина волны λ определяется по формуле де Бройля λ =        ,
                                                                         mv



                                       27