Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

28
где фазовая скорость волны v выражается через ее кинетическую энергию
2
v
2
m
E
кин
= .
При подстановке (1.38) в (1.37) уравнение примет вид:
ψ
ψ
кин
E
m
dx
d
22
2
2
h
−=
, (1.39)
Таким образом, формула (1.39) представляет собой уравнение, которому
подчиняется волновая функция свободной частицы. Запишем его в следующей
форме:
0
2
22
2
=+ ψ
ψ
кин
E
m
dx
d
h
. (1.40)
Если частица находится во внешнем потенциальном поле, то полная
энергия частицы Е будет складываться из кинетической энергии
кин
E и
потенциальной энергии U. Выразим кинетическую энергию как UEE
кин
−
=
и
подставим в уравнение (1.40):
0)(
2
22
2
=−+ ψ
ψ
UE
m
dx
d
h
. (1.41)
Формулы (1.40) и (1.41) представляют собой уравнение Шредингера для
стационарных (не зависящих от времени) состояний частицы.
Приведенные выше рассуждения нельзя считать строгим выводом данного
уравнения. Уравнение Шредингера как основное уравнение квантовой механики
постулируется, и его правильность подтверждается результатами опытных
данных.
Частица в потенциальной яме
В качестве простого примера применения уравнения Шредингера
рассмотрим случай частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной
прямоугольной потенциальной яме.
Пусть частица может двигаться только вдоль оси х, и движение ограничено
стенками х = 0, х = l ( рис.1.6). Между этими стенками частица движется
свободно, но за пределы области (0, l) проникнуть не может. В область
пространства, куда частица вообще не может проникнуть, потенциальная
энергия U обращается в бесконечность, и вероятность обнаружения частицы в
этих областях и, соответственно, волновая функция частицы, везде равна нулю.
Зависимость потенциальной энергии U частицы от координаты х можно
определить как:
≤≤
<>∞
=
lxдля
xlхдля
xU
0,0
0,,
)( 
где фазовая скорость волны v выражается через ее кинетическую энергию
       mv 2
Eкин =      .
        2
При подстановке (1.38) в (1.37) уравнение примет вид:
                          d 2ψ     2m
                               = −    Eкинψ ,              (1.39)
                          dx 2     h2
    Таким образом, формула (1.39) представляет собой уравнение, которому
подчиняется волновая функция свободной частицы. Запишем его в следующей
форме:
                         d 2ψ 2m
                             +    Eкинψ = 0 .       (1.40)
                         dx 2 h 2
    Если частица находится во внешнем потенциальном поле, то полная
энергия частицы Е будет складываться из кинетической энергии Eкин и
потенциальной энергии U. Выразим кинетическую энергию как Eкин = E − U и
подставим в уравнение (1.40):
                          d 2ψ 2m
                              +    ( E − U )ψ = 0 .         (1.41)
                          dx 2 h 2
    Формулы (1.40) и (1.41) представляют собой уравнение Шредингера для
стационарных (не зависящих от времени) состояний частицы.
Приведенные выше рассуждения нельзя считать строгим выводом данного
уравнения. Уравнение Шредингера как основное уравнение квантовой механики
постулируется, и его правильность подтверждается результатами опытных
данных.

   Частица в потенциальной яме
   В качестве простого примера применения уравнения Шредингера
рассмотрим случай частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной
прямоугольной потенциальной яме.
     Пусть частица может двигаться только вдоль оси х, и движение ограничено
стенками х = 0, х = l ( рис.1.6). Между этими стенками частица движется
свободно, но за пределы области (0, l) проникнуть не может. В область
пространства, куда частица вообще не может проникнуть, потенциальная
энергия U обращается в бесконечность, и вероятность обнаружения частицы в
этих областях и, соответственно, волновая функция частицы, везде равна нулю.
     Зависимость потенциальной энергии U частицы от координаты х можно
определить как:
                                  ∞, для х > l , x < 0
                         U ( x) = 
                                   0, для 0 ≤ x ≤ l


                                       28

Страницы