Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

30
Из уравнения (1.46) следует, что α=0, а уравнение (1.47) определяет
значения волнового числа к. Синус равен нулю, когда его аргумент принимает
следующие значения:
k l=n π,
где n – целое число n=1,2,3,…. Отсюда следует, что
l
n
k
π
= ;
2
2
2
2
h
mE
l
n
k =
=
π
, (1.48)
Из формулы (1.48) определяются допустимые значения энергии E
n
для частицы,
которые называются собственными значениями энергии:
2
2
22
2
n
ml
E
n
hπ
= . (1.49),
Целое число n называется главным квантовым числом, которое
определяет набор стационарных состояний и соответствующие им
собственные значения энергии E
n
(1.49).
Таким образом, видно, что частица в потенциальной яме обладает не
произвольным значением энергии, а набором определенных дискретных
значений E
n
, т.е. энергия квантуется.
При различных значениях n получаются разные типы волновых функций.
Волновые функции ψ, удовлетворяющие уравнению Шредингера (1.44),
определяются согласно формуле (1.45):
()sin()
n
xAx
l
ψ =
. (1.50)
Постоянная А находится из условия нормировки волновой функции (1.35):
1)(
2
0
=
∫
l
xψ , 1)(sin
0
22
=⋅
∫
dxx
l
n
A
l
π
. (1.51).
В результате интегрирования уравнения (1.51) получим, что
l
A
2
= .
Подставив значение константы А в (1.50), найдем окончательное выражение для
волновой функции частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме:
)sin(
2
)( x
l
n
l
x
n
π
ψ
= . (1.52)
Квантовое число n определяет не только собственные значения энергии E
n
, но и
соответствующие им собственные волновые функции (1.52).
Вероятность обнаружения частицы в интервале dx в потенциальной яме в
стационарном состоянии n будет равна dxx
n
⋅
2
)(
ψ
.
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x
1
до x
2
, согласно (1.35),
определится: 
     Из уравнения (1.46) следует, что α=0, а уравнение (1.47) определяет
значения волнового числа к. Синус равен нулю, когда его аргумент принимает
следующие значения:
                                   k l=n π,
где n – целое число n=1,2,3,…. Отсюда следует, что
                                                               2
                                 nπ         nπ   2mE
                              k=    ; k2 =      = 2 ,                               (1.48)
                                  l         l     h
Из формулы (1.48) определяются допустимые значения энергии En для частицы,
которые называются собственными значениями энергии:
                                             π 2h 2 2
                                        En =       n .                               (1.49),
                                             2ml 2
    Целое число n называется главным квантовым числом, которое
определяет набор стационарных состояний и соответствующие          им
собственные значения энергии En (1.49).
    Таким образом, видно, что частица в потенциальной яме обладает не
произвольным значением энергии, а набором определенных дискретных
значений En, т.е. энергия квантуется.
    При различных значениях n получаются разные типы волновых функций.
Волновые функции ψ, удовлетворяющие уравнению Шредингера (1.44),
определяются согласно формуле (1.45):
                                                          nπ
                                         ψ ()sin()
                                            xAx=                   .                  (1.50)
                                                           l
Постоянная А находится из условия нормировки волновой функции (1.35):
                                    2
                                                               nπ
                          l                           l

                         ∫ ψ ( x)       = 1 , A ⋅ ∫ sin 2 (       x )dx = 1 .
                                                  2
                                                                                     (1.51).
                         0                            0
                                                                l
                                                                            2
    В результате интегрирования уравнения (1.51)                       получим, что A =
                                                                              .
                                                                            l
Подставив значение константы А в (1.50), найдем окончательное выражение для
волновой функции частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме:
                                           2        nπ
                                ψ n ( x) =     sin(     x) .            (1.52)
                                           l          l
Квантовое число n определяет не только собственные значения энергии En, но и
соответствующие им собственные волновые функции (1.52).
    Вероятность обнаружения частицы в интервале dx в потенциальной яме в
стационарном состоянии n будет равна ψ n ( x ) 2 ⋅ dx .
    Вероятность обнаружения частицы в интервале от x 1 до x2, согласно (1.35),
определится:



                                             30

Страницы