Линейная алгебра. Тихомиров В.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ И СТРУКТУРА
МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ
Часто встречающиеся в тексте термины заменены сокращениями: линейное пространство – ЛП, кроме того, буква
V
будет обозначать произвольное ЛП; линейно зависимая – ЛЗ; линейно независимая – ЛНЗ; система векторов – СВ; систе-
ма линейных (алгебраических) уравнений – СЛАУ. Слова "Условие", "Действие", "Замечание", "Пример" заменяются первой
буквой соответствующего слова с нумерацией, например, У2 будем читать как условие 2 или второе условие, или П2.6 будет
означать пример 6 из параграфа 2. Особо отметим П1.3 – 1.5, поскольку они рассматриваются на протяжении всего изложе-
ния – целесообразно их запомнить.
Представленный материал состоит из параграфов, каждый из которых посвящен типовой задаче, отраженной в его на-
звании. Параграф, как правило, состоит из двух частей: в первой дается схема решения определенной типовой задачи, а во
второй – эта схема применятся к конкретным задачам. Отметим, что если хотя бы одно из условий данной схемы не выпол-
няется, то выполнять дальнейшие действия или проверять последующие условия нецелесообразно – следует остановиться и
дать отрицательный ответ на вопрос, поставленный в соответствующей типовой задаче. Кроме того, некоторые действия
(условия) взаимно пересекаются или достаточно просты, поэтому решения, их содержащие, не дробятся по пунктам Д1, Д2,
Д3, … . В остальных случаях такое дробление присутствует.
Номера задач для контроля освоения материала выделяются курсивом, например, 5, а решенных – полужирным курси-
вом, как то 6. Такое деление достаточно условно, поскольку есть примеры, в которых часть решения предлагается для само-
стоятельного рассмотрения.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть
X
– некоторое непустое множество, для любых элементов которого определено понятие равенства. Чтобы уста-
новить, является ли
X
линейным (векторным) пространством достаточно проверить выполнимость следующих условий:
У1. Определена операция "+", называемая сложением, т.е. определено правило, по которому любым двум элементам
,
x
yX∈
ставится в соответствие некоторый элемент
x
y
+
из
X
.
У2. Определена операция "
⋅
" умножения произвольного элемента из
X
на число α , результатом которой является
элемент из
X
.
У3. Введенные выше операции связаны соотношениями 1) – 8):
1)
,:=
x
yXxyyx∀∈ + +
; 2) ,, :( ) = ( )
x
yz X x y z x y z
∀
∈++++;
3)
X
∃θ∈
:
=
x
Xx x∀∈ +θ
; 4)
:=xXyX xy∀∈ ∃∈ + θ
;
5)
:1 =
Xxx∀∈ ⋅
; 6) ,, :()=()
x
Xxx∀α β ∈ ∀ ∈ α ⋅ β⋅ αβ ⋅R ;
7)
,, :()=
x
Xxxx∀α β ∈ ∀ ∈ α +β ⋅ α ⋅ + β⋅R ;
8)
,, : ( )=
x
yX xy x y∀α ∈ ∀ ∈ α ⋅ + α ⋅ + α⋅R .
Установить, какие из множеств являются ЛП.
1. = {0,1, 2}.X Под "+ " понимается сумма чисел из
,
X
а "
⋅
" означает умножение действительного числа на любое
число из
X
, например,
12=3+
и
10, 7 2 = 21, 4,⋅
откуда легко заметить, что
12
X
+
∈
и
10,7 2
X
⋅∈
. Таким образом, дейст-
вия "
+ " и "
⋅
" не вводят, соответственно, операций сложения и умножения на число в данном множестве
X
, а значит,
X
с
указанными действиями "
+
" и "
⋅
" не является ЛП.
2. = {0,1, 2}.X Под
12
x
x+ будем понимать остаток от деления числа
12
x
x
+
на 3, а под =
x
xα⋅ . Например,
12=0
+
и
10,7 2 = 2.⋅
У1, У2. Очевидно, что указанные действия задают в
X
операции сложения и умножения на число, соответственно.
У3. Легко заметить, что соотношения 1) – 6) для У1 выполняются (проверьте самостоятельно, учитывая, что
=0
θ
).
Вместе с тем, соотношение 7) не выполняется, так как, с одной стороны,
()1=1,α+β ⋅ а с другой,
11=11=2α⋅ +β⋅ +
. Таким
образом,
X
с указанными действиями " + " и "
⋅
" не является ЛП.
3. Пусть
n
P – множество всех многочленов от одной переменной степени не выше фиксированного числа n . Например,
пусть
=3,n тогда
2
3
27,xx+−∈P
также
3
24 ,x +∈P а
43 2
3
54xx xx−− ++∈P
.
Под "
+
" будем понимать сумму многочленов, а запись
()
k
Px
α
будет означать, что каждый из коэффициентов много-
члена
()
k
Px умножается на число .α Кроме того, отметим, что =0
n
θ
∈ P и предварительно обозначим
=0
=,
k
i
i
i
pax
∑
=0
=,
l
i
i
i
qbx
∑
=0
=,
m
i
i
i
rcx
∑
где ,klmn≤≤ ≤ а коэффициенты ,,
iii
abc
∈
R , и еще
,
α
β∈R
.
У1.
=0
=( )
s
i
ii
i
pq a bx++
∑
, где =max{ , }
s
kl и для удобства будем полагать, что =0,
i
a если <kl, или =0,
i
b если >kl.
Понятно, что
s
k≤ и ,
s
l≤ значит, ,
s
n≤ т.е.
n
pq+∈P .
У2. Пусть ,α∈R тогда
=0 =0
==().
kk
ii
ii
ii
pax axα⋅ α α
∑∑
При этом ,kn
≤
значит,
n
p
α
⋅∈P .
У3.

Страницы