ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Придумайте какую-либо норму в ЛП
22×
M и вычислите ее для вектора
12
.
34
З1. Слова "можно ввести норму" означают, что функционал || ||
x
удовлетворяют условиям:
1)
|| || 0,x ≥ причем || ||= 0 = ;xx⇔θ
2)
∀α ∈ R
имеет место || ||=| | || ||;
x
xα⋅ α ⋅
3)
yV∀∈
справедливо || || || || || || .
x
yx y+≤ +
8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Пусть для любых
,
x
yV∈
задано скалярное произведение (, )
x
y . Чтобы найти косинус угла между фиксированными
векторами
x
и
y
выполняем следующие действия.
Д1. Вычисляем скалярное произведение (, ).
x
y
Д2. Находим согласованные с введенным скалярным произведением нормы заданных векторов
|| ||= ( , ),|| ||= ( , ).
x
xx y yy
Д3. По формуле
(, )
cos( ) =
|| || || ||
xy
xy
x
y
,
⋅
находим косинус угла между данными векторами.
Найти косинус угла между заданными векторами.
1. Пусть в
4
R задано скалярное произведение
4
=1
(, )= .
ii
i
x
yxy
∑
Даны векторы
= (1,2,3, 4)x и = ( 2, 0, 1,3)y −− . Являются ли заданные векторы ортогональными?
Д1. ( , ) = 1 ( 2) 2 0 3 ( 1) 4 3 = 2 0 3 12 = 7xy ⋅− + ⋅ + ⋅− + ⋅ − + − + .
Д2.
2222
||||=1234=30,x +++
|| ||= 4 0 1 9 = 14y +++
.
Д3.
777
cos( ) = = =
30 14 2 15 2 7 2 15
xy,
⋅⋅⋅⋅
.
Векторы
,
x
y
называются ортогональными, если (, )=0.xy В данном примере это условие не выполняется, значит, дан-
ные векторы не являются ортогональными.
2. Пусть в
3
P для любых
3
=0
=
i
i
i
pax
∑
и
3
=0
=
i
i
i
qbx
∑
задано скалярное произведение
3
=0
(,)= .
ii
i
pq ab
∑
Даны векторы
23
=1 2 3 4pxxx++ +
и
2
=3 2qxx−+
. Очевидно, что для данных векторов
0123
=1, = 2, =3, = 4aaaa и
01 23
=0, = 3, =2, =0bb bb− .
Д1. ( , )=10 2( 3) 32 40=0pq ⋅+⋅− +⋅+⋅ .
Д2.
2222
|| ||= 1 2 3 4 = 30,p +++
|| ||= 0 9 4 0 = 13q +++
.
Д3.
0
cos( ) = = 0
30 13
pq,⇒
⋅
данные векторы ортогональны.
3. Пусть в
22×
M для любых
11 12
21 22
=
aa
A
aa
и
11 12
21 22
=
bb
B
bb
задано скалярное произведение
11 11 12 12 21 21 22 22
(, )= .
A
Babababab+++
Даны векторы
11
=
20
A
−
и
31
=.
22
B
−
З1. Слова "в ЛП задано скалярное произведение" означают, что для функционала (, )
x
y выполняются условия
1)
()0xx,≥
,
;
2)
()()
x
yyx,=,;
3)
()()()
x
yz xz yz+, = , + , ;
4)
()()
x
yxy∀λ ∈ λ , = λ ,R .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Специальные курсы / под ред. А.В. Ефимова. – М. : Наука, 1981.
2. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Ч. II. Линейная алгебра / А.И. Кострикин. – М. : Физ.-мат. лит., 2000.
3. Артамонов, В.А. Линейная алгебра для экономистов / В.А. Артамонов. – М. : МГУ, 1999.
) ,
ˆ
cos( yx
) ,
ˆ
cos( yx
) ,
ˆ
cos( qр
