Линейная алгебра. Тихомиров В.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5.
={(1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0,0, ,1)}
n
B ∈KKKKR
.
6.
22
11 3 1 51
=,, .
20 21 21
B
×
−


∈


−−



M
У1, очевидно, выполняется. Выполнив П2.6, отметим, что данная система векторов ЛНЗ. Проверим У3, которое пред-
варительно перепишем в виде:
11 12
123
21 22
11 3 1 51
=,
20 21 21
aa
aa
−


α⋅ +α⋅ +α⋅


−−


где
11 12
21 22
aa
aa



– произвольный вектор из
22
,
×
M а
i
α – некоторые числа. Преобразовав правую часть записанного равенства, будем иметь:
12312311 12
123 2
21 22
35
=,
222
aa
aa
α+α+α α−α+α


−α+ α− α α


что можно записать как СЛАУ (относительно неизвестных
123
,,
α
αα):
12311
1 3 11 22
12312
1 3 12 22
12321
1 3 21 22
222
35=
5= 3
=
=
222=
22= 2
=
a
aa
a
aa
a
aa
a
α+α+α
α+α −
α−α+α
α+α +

⇒⇒

−α+ α− α
−α− α −


α
1 3 11 22 1 3 11 22
1 3 12 22 3 11 12 22
1 3 21 22 3 11 21 22
5= 3 5= 3
=4=4
.
11
=4=4
22
aa aa
aa aa a
aa a a a
α+α − α+α −


−α − α − − α − −


⇒⇒

−α − α − α + −




Как следует из последних двух уравнений полученной системы должно выполняться равенство
12 21
1
=,
2
aa−
которое не
всегда возможно в силу произвольности значений
12
a и
21
,a значит, исходное векторное равенство не всегда возможно, т.е.
У3 не выполняется и данная система векторов не образует базис в
22
×
M .
7.
2
{1, , , , } .
n
n
xx x ∈K P
4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В БАЗИСЕ
Пусть
1
={ , , }
n
Be eK – выбранный в
V
базис,
y
– произвольный вектор из
V
. Чтобы найти координаты вектора
y
в
базисе
B
выполняем следующие действия:
Д1. Составляем векторное уравнение
=1
=.
n
ii
i
yeα
∑
Д2. Преобразуем его к СЛАУ относительно неизвестных
i
α
.
Д3. Решаем полученную СЛАУ – найденные значения
i
α
и будут искомыми координатами.
Найти координаты вектора
y
в базисе
B
1.
4
= ( 1, 2,3, 4); = {(2,1,1,1), (0,1, 2,3), (1, 0,1, 0),(0,1, 0,1)} .yB−∈R
Составляем векторное уравнение
134
( 1, 2, 3, 4) = (2,1,1,1) (0,1, 2,3) (1,0,1,0) (0,1, 0,1).− α +α +α +α
Преобразуем в систему линейных уравнений (см.
П3.3)
12 413
123
12 4
12 4
123
1312 4
=22=1
2=3
=2
.
3=42=3
2=13=4
α+ α+ αα+ α −
α+ α+α
α+ α+ α

⇔

α+α+ αα+ α+α


α
+α−α+α+ α
Решаем полученную систему (например, методом Гаусса)
1101 2 1 1 0 1 2 11 0 1 2 11 0 1 2
1210 3 0 1 1 1 1 01 1 1 1 01 1 1 1
1301 4 0 2 0 0 2 00 2 2 0 00 1 1 0
20101 0 21 25 003 43 000 13


−−−


−−


−−−− −− −−

::::
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Страницы