Линейная алгебра. Тихомиров В.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

гично для оставшихся уравнений запишем
0102
1103,
1321





010 1
110 1.
132 2
−




Заметим, что у полученных матриц компоненты левее черты совпадают, обозначим их как
B
%
. А матрицу
B
′
%
соберем из
столбцов правее черты выписанных матриц:
0 1 01 2 1 1 1 00 3 1 1 1 00 3 1
1 1 00 3 1 0 1 012 1 0 1 01 2 1
1 3 21 1 2 1 3 21 1 2 0 2 21 2 1
− 

−−


−

:: :
110 0 3 1 110 0 3 1 100 1 1 2
010 1 2 1 010 1 2 1 010 1 2 1.
002 1 6 3 001 0,5 31,5 001 0,5 31,5
 −



−−−




−− −− −−


:: :
Таким образом, матрица перехода будет
112
=121.
0, 5 3 1,5
T
−


−


−−

2. = {(1, 2,3), (1,0,1),(0, 2, 1)}; = {(1, 0,0), ( 1, 1, 0), (3, 2,1)}.BB
′
−− −−
Выполняя действия (самостоятельно), аналогичные приведенным выше, запишем матрицу
(| )BB
′
%%
:
11 0 1 13
20 20 12.
31 10 01
−

−−


−

(Заметьте, как связаны между собой матрица
B
%
и координаты векторов базиса
B
, а также матрица
B
′
%
и координаты векто-
ров базиса
B
′
.)
Преобразуем выписанную матрицу:
1101 13 11 0 1 1 3 11 0 1 1 3
202012 022214 022214
311001 021338 001 124
− − −

− − −−− − −−− −


−−−−−−−

:::
11011311011310011,53
0204512 01022,56 01022,56.
00112 4 0011 2 4 0011 2 4
− −−−

−− − − −


−− −− −−

:::
Таким образом, матрица перехода будет
11,53
22,56.
124
−−


−


−−

3. ={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},B ={(1,2,3,4),B
′
4
(1,1,1,1), (0,1, 0,1), (1, 0,1, 0)}∈ R
.
4.
22
2
={1, , }, ={1, 1,( 1) }BxxB xx
′
−−∈
P
.
5.
22
2
={1, 1,( 1) }, ={1, , }Bxx Bxx
′
−− ∈
P
.
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА
Пусть вектор
x
имеет в базисе
B
координаты
1
=( , , )
n
X
α
αK , что можно обозначить и так
1
( ,..., )
nB
αα.
Чтобы найти координаты вектора
x
в базисе B
′
выполняем следующие действия:
Д1. Находим матрицу перехода
T
от базиса
B
к базису B
′
.
Д2. Находим матрицу, обратную матрице перехода – матрицу
1
T
−
.
Д3. По формуле
1
=
T
X
TX
−
′
находим столбец координат вектора
в базисе B
′
.
Найти координаты вектора
x
в базисе B
′
, если известны его координаты в базисе
:B
= (1, 2, 3).
B
x Базисы ,BB
′
см. в
§5
.
1.
Д1. См.
§
5.
Д2. Обратную матрицу можно найти несколькими способами, воспользуемся одним из них – методом Гаусса.
1 1 2100 1 1 2 100 11 2 1 00
1 2 10 10 0 3 1 110 03 1 1 10
0,5 3 1,5 0 0 1 0 3,5 0, 5 0,5 0 1 0 0 5/3 2/3 7/6 1
− − −

−


−− − −

:::
112 1 0 0 1101/5 7/5 6/5 1101/5 7/5 6/5
0 3 1 1 1 0 0 3 0 3/5 3/10 3/5 0 1 0 1/5 1/10 1/5
0 0 1 2/5 7/10 3/5 0 0 1 2/5 7/10 3/5 0 0 1 2/5 7/10 3/5
− − − − − − −

−−



:: : :

Страницы