ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. Постоянное электрическое поле в вакууме.
Основные формулы
*)
Принцип суперпозиции полей:
(
)
(
)
∑
=
i
i
rErE
r
r
r
r
, (1.1)
где
(
)
rE
r
r
и
(
)
rE
i
r
r
– напряженности электрического поля системы и i-го
элемента системы в точке r
→
соответственно . В частности , когда элементами
системы являются точечные заряды , то (1.1) приобретает вид:
() ()
i
i
i
i
rr
rr
q
rE
rr
rr
r
r
−
−
=
∑
3
, (1.2)
Здесь q
i
– заряд i-го точечного заряда , r
→
i
– радиус-вектор, проведенный из начала
координат к q
i
.
Если имеется сплошное распределение заряда по объему или поверхности
тела , то (1.2) принимает вид:
()
(
)
(
)
Vd
rr
r
r
r
rE
V
′
′
−
′
−
′
=
∫
3
rr
r
r
r
r
r
ρ
, (1.3)
()
(
)
(
)
Sd
rr
r
r
r
rE
S
′
′
−
′
−
′
=
∫
3
rr
r
r
r
r
r
σ
, (1.4)
где
(
)
r
′
r
ρ
и
(
)
r
′
r
σ
– объем и поверхностная плотность заряда , dV’ и dS’ –
элементы объема и поверхности , относящиеся к точке , характеризуемой радиус-
вектором r
→
′
.
Электростатическая теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной
формах:
()
()
(
)
()
∉
∈
=
∫
∈
;,0
,,4
SVq
SVqq
SdrE
Sr
S
π
r
r
r
r
(1.5)
(
)
(
)
rrE
r
r
r
πρ4div = . (1.6)
Здесь S – замкнутая поверхность ; V(S) – объем, ограниченный поверхностью S; q –
суммарный заряд;
dS
n
S
d
⋅
=
r
r
,
n
r
– внешняя нормаль к элементу поверхности dS
в точке r
→
. Уравнение (1.6) известно также как 1-е уравнение Максвелла .
*)
Здесь и далее используется абсолютная гауссова система единиц.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
3
1. П о ст
о ян н о е эл ек тр иче ск о е по л е в вак уум е .
О сн о вн ы е ф о р м ул ы *)
П р и нци п супе р по зи ци и по ле й:
r r r r
E (r ) = ∑ Ei (r ) , (1.1)
r r r r i
где E (r ) и Ei (r ) – на пр яж е нно сти эле ктр и ч е ско го по ля си сте мы и i-го
→
эле ме нта си сте мы в то ч ке r со о тве тстве нно . В ч а стно сти , ко гда эле ме нта ми
си сте мы являются то ч е ч ны е за р яды , то (1.1) пр и о б р е та е тви д:
r r q r r
E (r ) = ∑ r i r 3 (r − ri ) , (1.2)
i r − ri
→
Зде сь qi – за р яд i-го то ч е ч но го за р яда , r i – р а ди ус-ве кто р , пр о ве де нны й и з на ч а ла
ко о р ди на тк qi.
Если и ме е тся спло ш но е р а спр е де ле ни е за р яда по о б ъ е му и ли по ве р хно сти
те ла , то (1.2) пр и ни ма е тви д:
r r r
r r ρ (r ′)(r − r ′)
E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ , (1.3)
V r − r′
r r r
r r σ (r ′)(r − r ′)
E (r ) = ∫ r r 3 dS ′ , (1.4)
S r − r′
(r ) (r )
где ρ r ′ и σ r ′ – о б ъ е м и по ве р хно стна я пло тно сть за р яда , dV’ и dS’ –
эле ме нты о б ъ е ма и по ве р хно сти , о тно сящ и е ся к то ч ке , ха р а кте р и зуе мо й р а ди ус-
→
ве кто р о м r ′.
Э ле ктр о ста ти ч е ска я те о р е ма Га усса в и нте гр а льно й и ди ф ф е р е нци а льно й
ф о р ма х:
r r r 4πq, q ∈ V (S ),
∫ (E (r )dS ) = 0, q ∉V (S ); (1.5)
Sr
r ∈S
r r r
divE (r ) = 4πρ (r ). (1.6)
Зде сь S – за мкнута я по ве р хно сть; V(S) – о б ъ е м, о гр а ни ч е нны й по ве р хно стью S; q –
r r r
сумма р ны й за р яд; dS = n ⋅ dS , n – вне ш няя но р ма ль к эле ме нту по ве р хно сти dS
→
в то ч ке r . У р а вне ни е (1.6) и зве стно та кж е ка к 1-е ур а вне ни е М а ксве лла .
*)
Зде сь и да ле е и спо льзуе тся а б со лютна я га уссо ва си сте ма е ди ни ц.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
