Алгебра. Ткач Л.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Задача. Придумайте графическую иллюстрацию правила суммы.
Пример. Сколько различных «слов» (или последовательностей букв), состоящих не менее чем из пяти различных букв,
можно образовать из букв слова «рисунок»?
Слово «рисунок» состоит из семи различных букв. Применяя правило произведения соответствующее число раз, можно
установить, что из букв слова «рисунок» получается:
34567
1
⋅⋅⋅⋅=N – «слов» из пяти букв;
234567
2
⋅⋅⋅⋅⋅=N – «слов» из шести букв;
1234567
3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N – «слов» из семи букв.
Применяя правило суммы, получим, что возможно
321
NNNN
+
+
=
= = 2520 + 5040 + 5040 = 12 600 «слов», состоящих не
менее чем из пяти букв слова «рисунок».
2.3. ПЕРЕСТАНОВКИ. РАЗМЕЩЕНИЯ.
СОЧЕТАНИЯ. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Обозначим символом n! (читается «эн факториал») – число, равное произведению всех натуральных чисел от 1 до n.
Например:
1! = 1;
2! = 1 · 2 = 2;
3! = 1 · 2 · 3 = 6;
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120;
...
Положим по определению
24
: 0! = 1.
Рассмотрим некоторое множество, состоящее из n различных элементов. Если в множестве введено отношение порядка,
т.е. определено, какой элемент множества за каким следует или какому предшествует, то множество называется упорядочен-
ным.
Пример. Пусть даны три буквы: A, B, C. Составим все возможные упорядоченные множества из этих букв:
ABC; АCB; BCA; BAC; CBA; CAB.
Таких множеств получилось 6 штук. Они отличаются только порядком расположения букв.
Определение 2.3.1. Упорядоченные множества из n элементов, которые отличаются только порядком элементов, назы-
ваются перестановками из n элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается:
n
P . В предыдущем примере мы выяснили, что .6
3
=P
Пример. Пусть даны четыре буквы: A, B, C, D. Составим упорядоченные подмножества, состоящие из двух букв:
AB; АC; AD;
BA; BC; BD;
CA; CB; CD;
DA; DC; DB.
Все полученные подмножества отличаются или буквами, или порядком букв (т.е. AB и BA считаются разными подмно-
жествами). Этих подмножеств 12 штук.
Определение 2.3.2. Упорядоченные подмножества из n элементов по k элементов каждое, называются размещениями из
n элементов по k элементов (или кратко: размещениями из n по k).
Таким образом, размещения из n по k отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из n
по k обозначается:
k
n
А . В предыдущем примере мы выяснили, что .12
2
4
=А
Пример. Пусть даны четыре буквы: А, B, C, D. Составим подмножества из двух элементов:
AB; AC; AD;
BC; BD;
CD.
24
Это определение связано с желанием распространить основное свойство факториала
()
nnn ⋅−= !1! на целые числа
()
1!01!01!111!1:1 =⇒⋅=⋅−==≥n .
2
4
5
сотни десятки единицы число
245
254
425
452
524
542
5
4
5
2
4
2
4
5
2
5
2
4

Страницы