Алгебра. Ткач Л.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Изменение порядка букв внутри этих подмножеств не приводит к новому подмножеству. Этих подмножеств получи-
лось 6 штук.
Определение 2.3.3. Подмножества из n элементов по k элементов каждое, отличающиеся хотя бы одним элементом, на-
зываются сочетаниями из n элементов по k элементов (или кратко: сочетаниями из n по k).
Число сочетаний из n по k обозначается:
k
n
С . В предыдущем примере мы выяснили, что .6
2
4
=C
Теорема 2.3.1.
).1()2()1(
)!(
!
+−⋅⋅−⋅−⋅=
−
= knnnn
kn
n
A
k
n
K
Доказательство. Подсчитаем число размещений из n по k. Первый элемент размещения из n по k можно выбрать n спо-
собами. Второй элемент можно выбрать n – 1 способом, так как в качестве второго элемента можно взять любой элемент
множества, кроме уже выбранного первым. После выбора первых двух элементов остается n – 2 возможности для выбора
третьего элемента и т.д. Последний k-й элемент размещения из n по k может быть выбран n – k + 1 способом, так как к мо-
менту выбора k-го элемента осталось
()
1−− kn элементов. По правилу произведения число всех размещений из n по k равно:
.
)!(
!
)1()2()1(
kn
n
knnnnA
k
n
−
=+−⋅⋅−⋅−⋅=
K
Теорема доказана.
Теорема 2.3.2.
.)1(321! nnnP
n
⋅−⋅
⋅
⋅⋅== K
Доказательство. Перестановки являются частным случаем размещений, а именно, перестановка из n элементов – это
размещение из n элементов по n элементов. Поэтому
.)1(321!
!0
!
)!(
!
nnn
n
nn
n
AP
n
nn
⋅−⋅⋅⋅⋅===
−
== K
Теорема доказана.
Теорема 2.3.3. .
)!(!
!
! knk
n
k
A
C
k
n
k
n
−
==
Доказательство. Для доказательства теоремы подсчитаем число всех размещений из n по k следующим образом. Сна-
чала образуем все возможные неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов – это будут сочетания из n по k, их
число равно
k
n
С . Затем из полученных неупорядоченных подмножеств (сочетаний из n по k) перестановкой их элементов полу-
чим все упорядоченные подмножества из k элементов (размещения из n по k), которых будет в k! раз больше, так как каждое k-
элементное множество можно упорядочить k! способами. Следовательно:
k
n
k
n
CkA != .
Из этого равенства получим формулу для числа сочетаний из n по k. Теорема доказана.
Задача. В чемпионате страны по футболу участвуют n команд. Каждые две команды встречаются между собой 1 раз.
Было сыграно 153 матча. Найти n.
Решение. Число сыгранных матчей равно .
2
n
С Поэтому
153
2
=
n
C ;
153
)!2(!2
!
=
−
n
n
;
(
)
153
2
1
=
−
nn
;
0306
2
=−− nn .
17,18
21
−== nn – не подходит по смыслу задачи.
Ответ. 18 команд.
Задача. Сколькими способами можно упорядочить множество 1, 2, ..., 2n так, чтобы каждое четное число имело четный
номер?
Решение. Четные числа (их n штук) можно расставить на местах с четными номерами (таких мест n штук) n! способа-
ми. Каждому способу расположения четных чисел на местах с четными номерами соответствует n! способов расположения
нечетных чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому общее число перестановок указанного типа по правилу умноже-
ния равно:
.)!(!!
2
nnn =⋅
Ответ. .)!(
2
n
Задача. Имеется 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки различные). Сколькими способами
может быть накрыт стол для чаепития на трех человек, если каждый получит одну чашку, одно блюдце, одну ложку?
Решение. Чашки для трех человек можно выбрать из четырех различных чашек
3
4
A способами. Блюдца для трех чело-
век можно выбрать из пяти различных блюдец
3
5
A
способами. Чайные ложки для трех человек можно выбрать из шести раз-
личных чайных ложек
3
6
A способами. По правилу произведения накрыть стол для чаепития для трех человек можно
3
6
3
5
3
4
AAA ⋅⋅ способами.
.800172!6!52
!3!2
!6!5!4
)!36(
!6
)!35(
!5
)!34(
!4
3
6
3
5
3
4
=⋅⋅=
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
−
⋅
−
=⋅⋅ AAA

Страницы