Алгебра. Ткач Л.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Мы не будем рассматривать примеры на применение трансфинитной индукции. Желающим познакомиться с подобны-
ми примерами можно рекомендовать, например, книгу: Верещагин, Н.К. Начала теории множеств / Н.К. Верещагин, А.
Шень. – М. : МЦНМО, 1999, где с использованием трансфинитной индукции доказано, например, что куб нельзя разрезать
на части, из которых можно было бы составить правильный тетраэдр (что составляет решение третьей проблемы Гильбер-
та
45
).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5
5.1. Сколько элементов содержит множество
A × B, если A имеет n элементов, а множество B − m элементов?
5.2. Показать на примерах, что приведенные ниже равенства верны не для любых множеств A, B и C:
а)
A × B = B × A;
б)
A × (B × C) = (A × B) × C.
5.3. Докажите, что для произвольных множеств A, B, C справедливы равенства:
а)
()( )()
(
)
DBCADCBA ××=× III ;
б)
( ) ()()
CBCACBA ××=× II ;
в)
()()()
CABACBA ××=× II .
5.4. Пусть
A и B − конечные множества, в множестве A – n элементов, в множестве B − m. Сколько существует бинар-
ных отношений на множествах A и B?
5.5. Рассмотреть следующие отношения с точки зрения наличия свойств рефлексивности, антирефлексивности, сим-
метричности, антисимметричности, транзитивности:
а)
()
{
}
;,,1xy x Zy Z x y∈∈≤+
;
б)
()
{}
22
;,,
x
yx Zy Zx y∈∈ =
;
в)
()
{
}
;,,
x
yx Zy Zx y∈∈ =
;
г)
(){}
∅=⊂⊂ YXZYZXYX I,,; ;
д)
(
)
{
}
yxZyZxyx <∈∈ ,,; ;
е)
(){}
1,,; =+∈∈ yxRyRxyx ;
ж)
()
{
}
;,,
x
yx Ny Nx y∈∈≤
;
з)
()
{
}
;,,
x
yx Ny Nx y∈∈≠
;
и)
()
{}
yyxxRyRxyx +=+∈∈
22
,,;
;
к)
()
{}
1,,;
22
=+∈∈ yxRyRxyx
.
5.6. Пусть A = {a; b; c; d}. Построить на множестве A, как на вершинах, ориентированный граф, соответствующий би-
нарному отношению ϕ на множестве A, которое является:
а) рефлексивным, симметричным, транзитивным;
б) антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.
5.7. Пусть на множестве R
2
определено бинарное отношение ϕ. Рассмотрим множество ϕ как множество на координат-
ной плоскости R
2
. Какими свойствами должно обладать множество ϕ, чтобы бинарное отношение ϕ было:
а) рефлексивным;
б) антирефлексивным;
в) симметричным;
г) антисимметричным;
д) транзитивным.
5.8. Доказать, что бинарное отношение ϕ на множестве R
2
, определенное равенством
()( )(){}
22
111
;;; RRxxyxyx ×⊂==ϕ
, является отношением эквивалентности. Описать фактормножество
ϕ/
2
R
.
5.9. Является ли отношением эквивалентности бинарное отношение ϕ на множестве R
2
, определенное равенством
()( )()()()
{}
222
2
1
2
111
;;; RRryyxxyxyx ×⊂≤−+−=ϕ ?
5.10. Сколько различных отношений эквивалентности можно задать на трехэлементном множестве {a; b; c}?
5.11. Задано разбиение
{}
2;1
1
=A ,
{
}
2
3A =
,
{
}
5;4
3
A ,
{
}
9;8;7;6
4
A множества
{}
9;8;7;6;5;4;3;2;1
A . Образо-
вать множество всех пар из
A
A
× , которые принадлежат отношению эквивалентности, соответствующему данному разбие-
нию.
45
На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже немецкий математик Давид Гильберт прочитал знаменитый
доклад «Математические проблемы», в котором сформулировал 23 проблемы, которые должны были определить дальнейшее развитие математи-
ки. Все эти проблемы относились к современной (для того времени) математике. И лишь одна проблема − третья − связана с «школьной» геомет-
рией. Эта проблема состояла в доказательстве невозможности построения теории объемов многогранников на идее равносоставленности (простое
и подробное изложение этого вопроса можно найти, например, в книгах: Энциклопедический словарь юного математика. – М. : Педагогика, 1989.
– С. 264; Энциклопедия для детей. Математика. – М. : Аванта, 2002. – С. 364). Эта проблема была первой из решенных. В 1900 году она была
решена немецким математиком М. Деном.

Страницы