Алгебра. Ткач Л.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейным уравнением относительно неизвестных x
1
, x
2
, …, x
n
называется уравнение вида
bxaxaxa
nn
=
+
+
+
...
2211
, (1)
где a
1
, a
2
, …, a
n
, b − некоторые числа. При этом a
1
, a
2
, …, a
n
называются коэффициентами уравнения, а b − свободным чис-
лом.
Упорядоченная последовательность n чисел k
1
, k
2
, …, k
n
называется решением уравнения (1), если после подстановки x
1
= k
1
, x
2
= k
2
, …, x
n
= k
n
в данное уравнение оно превратится в верное числовое соотношение.
Пример. Линейное уравнение
123 4
35 2 2xxx x+−+ =
обладает решением 5, 0, 1, 2, так как после подстановки
0;5
21
== xx ; 3
3
=x ; 2
4
=x получаем верное числовое соотношение 22215035 =⋅+⋅−⋅+ . Последовательность чисел
1, 2, 3, 0 не является решением вышеуказанного уравнения, так как полученное после подстановки
0;3;2;1
4321
=
=
== xxxx чи-
словое соотношение
20235031 =⋅+⋅−⋅+ не верно. Очевидно, что указанное решение не единственное. Выпишите еще
два решения вышеуказанного линейного уравнения.
Заметим, что последовательность чисел k
1
, k
2
, …, k
n
составляет одно решение линейного уравнения (1) (а не n реше-
ний), поэтому решение уравнения (1) записывается в круглых скобках в виде (k
1
; k
2
; …; k
n
).
Решения уравнения (1) K = (k
1
; k
2
; …; k
n
) и L = (l
1
; l
2
; …; l
n
) называются одинаковыми тогда и только тогда, когда
nn
lklklk === ,...;;
2211
. Если хотя бы одно из равенств не выполняется, то решения называются различными.
Решить уравнение (1) − значит найти множество решений данного уравнения (которое может быть и пустым). Два
уравнения называются равносильными, если их множества решений совпадают.
Очевидно, что если данное уравнение подвергнуть одному из преобразований:
1) перенос членов (т.е. a
i
x
i
или b) из одной части уравнения в другую;
2) почленное умножение обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число,
то получим уравнение, равносильное данному.
В зависимости от того, каковы числа a
1
, a
2
, …, a
n
, b, можно определить, имеет линейное уравнение (1) решение или
нет, а также количество этих решений. Возможны только следующие три случая:
1) a
1
= a
2
= … a
n
= 0, b ≠ 0;
2) a
1
= a
2
= … a
n
= 0, b = 0;
3) хотя бы одно из чисел a
1
, a
2
, …, a
n
отлично от нуля.
В первом случае линейное уравнение (1) имеет вид
0 ⋅ x
1
+ 0 ⋅ x
2
+ … + 0 ⋅ x
n
= b, b ≠ 0 (2)
и не имеет решений. Покажем это. Пусть (k
1
; k
2
; …, k
n
) − решение этого уравнения, тогда 0 ⋅ k
1
+ 0 ⋅ k
2
+ … + 0 ⋅ k
n
= b должно
быть верным числовым соотношением, что невозможно, так как b ≠ 0. Следовательно, у данного линейного уравнения пус-
тое множество решений. Линейное уравнение (2) называется противоречивым.
Во втором случае линейное уравнение (1) имеет вид
0 ⋅ x
1
+ 0 ⋅ x
2
+ … + 0 ⋅ x
n
= 0, (3)
и каждая последовательность (k
1
; k
2
; …, k
n
) является решением этого уравнения. Линейное уравнение (3) называется триви-
альным.
В третьем случае предположим, что a
1
≠ 0 (в противном случае можно переобозначить слагаемые в левой части ли-
нейного уравнения (1)). Перенесем все слагаемые из левой части линейного уравнения (1), кроме слагаемого a
1
x
1
, в правую
часть, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент a
1
≠ 0. Тогда получим
nn
xcxccx +
+
+
=
...
2201
, (4)
где ....,,3,2;;
11
0
0
ni
a
a
c
a
b
c
i
i
=−==
Линейные уравнения (1) и (4) равносильны, поэтому для того, чтобы решить уравнение (1), достаточно найти все реше-
ния уравнения (4).
Неизвестное x
1
называется главным, а неизвестные
n
xx ...,,
2
− свободными. Придавая свободным неизвестным
n
xx ...,,
2
линейного уравнения (4) произвольные значения
n
kk ...,,
2
, мы будем находить значение главной переменной
nn
xkkccx +++= ...
2201
. Очевидно, что
);...;;...(
2220 nnn
kkkckccK
+
+
+
=
является решением уравнения (4) и тем самым уравнения (1). Уравнения (4), как и уравнение (1), имеет бесконечное множество
решений, так как значение для неизвестных
n
xx ...,,
2
можно выбирать бесконечным числом различных способов.
Итак, при n > 1 уравнение (1) либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Страницы