Алгебра. Ткач Л.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что в примере 2 система линейных уравнений имеет единственное решение (такие системы линейных уравне-
ний называются определенными), в примере 3 система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений (такие
системы линейных уравнений называются неопределенными), которое записано в виде общего решения, т.е. буквенного вы-
ражения, которое при частных значениях для букв дает все решения данной системы линейных уравнений. В примере 1 сис-
тема линейных уравнений не имеет решений. Такие системы линейных уравнений, как мы уже знаем, называются несовме-
стными. Как мы позже докажем, эти три случая охватывают все возможные варианты для множества решений системы ли-
нейных уравнений.
6.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СТУПЕНЧАТОГО ВИДА
Во всех трех вышеприведенных примерах нам удалось без особого труда найти множество решений систем. Причина
этого в том, что системы линейных уравнений в этих примерах имели специальный «ступенчатый» вид, позволивший ре-
шить системы, двигаясь снизу вверх.
Рассмотрим систему линейных уравнений ступенчатого вида более подробно. В самом общем виде система линейных
уравнений ступенчатого вида может быть записана так:
=
=
=++
=++
=++
=++
+
.0
...
;0
;...
...
;...
;...
;...
1
333
222
11111
m
r
rnnrsrs
nnkl
nnkk
nn
b
b
bxaxa
bxaxa
bxaxa
bxaxa
Здесь a
11
⋅ a
2k
⋅ … ⋅ a
rs
≠ 0, 1 < k < l < … < s. Может оказаться, что r = m (см. примеры 2 и 3) и поэтому уравнений вида: 0
= b
i
с правой частью b
i
≠ 0 в ступенчатой системе линейных уравнений не будет. Может оказаться, что r = n (см. пример 2) и
тогда систему линейных уравнений естественно назвать треугольной.
Очевидно, что если система (1) содержит уравнение вида: 0 = b
i
с правой частью b
i
≠ 0, то эта система несовместная (см.
пример 1). Докажем, что если таких уравнений в системе (1) нет, то эта система совместная.
Пусть числа b
i
= 0 при i > r. Назовем неизвестные
slk
xxxx ...,,,,
1
, с которых начинаются первое, второе, …, r-е урав-
нения, главными, а остальные неизвестные, если таковые имеются, − свободными. Главных неизвестных по определению
всего r.
Придадим свободным неизвестным произвольные значения и подставим их в уравнения системы (1). Тогда для x
s
полу-
чится одно (r-е) уравнение вида: a x
s
= b с a = a
rs
≠ 0, которое имеет единственное решение
a
b
x
s
=
. Подставляя найденное
значение
a
b
x
s
=
в первые r – 1 уравнений и поднимаясь так снизу вверх по системе (1), мы убедимся в том, что значения для
главных неизвестных определяются однозначно при любых значениях для свободных неизвестных. Причем очевидно, что
таким способом мы сможем получить любое решение системы (1).
На основании вышеизложенных рассуждений сформулируем теорему.
Теорема 6.3.1. Для совместности системы линейных уравнений ступенчатого вида (1) необходимо и достаточно, чтобы
в ней не оказалось уравнений вида: 0 = b
i
с правыми частями b
i
≠ 0. Если это условие выполнено, то свободным неизвестным
можно придавать произвольные значения, главные неизвестные − при заданных значениях для свободных − однозначно оп-
ределяются из системы.
Выясним, когда система (1) будет определенной в предположении, что введенное нами условие совместности выполне-
но. Если в системе (1) имеются свободные переменные, то система заведомо неопределенная − мы можем придавать свобод-
ным неизвестным любые значения, выражая через них (по предыдущей теореме) главные неизвестные. Если же свободных
неизвестных нет и все неизвестные главные, то система (1) будет треугольной и все неизвестные определяются из системы
однозначно, так что система будет являться определенной. Осталось заметить, что отсутствие свободных неизвестных рав-
носильно условию r = n.
Таким образом мы доказали теорему.
Теорема 6.3.2. Совместная ступенчатая система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, ко-
гда она является треугольной (или r = n).
(1)

Страницы