Алгебра. Ткач Л.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Остальные уравнения системы расположим в естественном порядке, переобозначив коэффициенты системы и свобод-
ные числа как
ij
a
′
и
i
b
′
. Вычтем из i-го (i = 2, 3, …, m) уравнения новой системы первое уравнение, обе части которого умно-
жены на
11
1
a
a
i
′
′
(элементарное преобразование 4). В результате этих действий мы получим систему, в которой x
1
входит только
в первое уравнение. При этом может оказаться, что x
2
также не входит во все уравнения с номером i > 1. Пусть x
k
− неизвест-
ная с наименьшим номером, которая входит в какое-нибудь уравнение, не считая первого. Мы получим систему:
′′
=
′′
++
′′
′′
=
′′
++
′′
′
=
′
++
′
....
...
;...
;...
222
11111
mnmnkmk
nnkk
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
Здесь k > 1,
0
11
≠
′
a . Тем самым получилась «первая ступенька», так как x
1
входит только в первое уравнение − из ос-
тальных уравнений мы его исключили.
Начнем построение «второй ступеньки» с поиска коэффициента при x
k
, отличного от нуля. Поменяем уравнения (эле-
ментарное преобразование 2), если это необходимо, и применяя элементарное преобразование 4), мы исключим x
k
из третье-
го, четвертого, …, m-го уравнений системы − получилась «вторая ступень».
Будем продолжать этот процесс пока это возможно. Так как число уравнений в системе линейных уравнений конечно,
то на каком-то конечном шаге мы получим систему ступенчатого вида.
Тем самым доказана теорема.
Теорема 6.4.2. Любая система линейных уравнений равносильна системе, имеющей ступенчатый вид.
Пример. Решить систему
=++
=++
=
+
+
.21152
;162
;153
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Умножим первое уравнение системы на (–1) и сложим со вторым:
=++
=+−
=
+
+
.21152
;0
;153
321
32
321
xxx
xx
xxx
Умножим снова первое уравнение на (–2) и сложим с третьим:
=+−
=+−
=
+
+
.0
;0
;153
32
32
321
xx
xx
xxx
Теперь умножим второе уравнение системы на (–1) и сложим с третьим:
=
=+−
=
+
+
.00
;0
;153
32
321
xx
xxx
Зачеркиваем тривиальное уравнение (третье уравнение системы):
=+−
=++
.0
;153
32
321
xx
xxx
Заметим, что последнее преобразование системы можно было сделать и на том основании, что если в системе уравне-
ний есть два одинаковых уравнения, то в этой системе можно оставить только одно из них.
Итак, мы получили ступенчатую систему линейных уравнений, равносильную первоначальной системе и совпадающую с
системой из примера 3 в 6.2. Как мы уже знаем, общее решение этой системы
(
)
Rtttt
∈
−
,;;81 .
6.5. МЕТОД ГАУССА. ПРИМЕРЫ
Приведенный метод решения систем линейных уравнений называется методом Гаусса или методом последовательного
исключения неизвестных.
Сделаем одно полезное дополнение. В методе Гаусса все преобразования системы сводятся к преобразованиям коэффи-
циентов при неизвестных. Учитывая это, можно сократить запись и представлять в процессе решения систему линейных
уравнений просто набором ее коэффициентов в виде таблицы (такие таблицы чисел, как мы узнаем позже, называются мат-
рицами), т.е. в виде

Страницы