Алгебра. Ткач Л.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11 12 1 1
21 22 2 2
12
n
n
mm mnm
aa ab
aa ab
aa ab







K
K
KKKKK
K
.
Для наглядности мы отделили свободные числа вертикальной чертой. Такую матрицу естественно назвать расширенной
матрицей системы линейных уравнений
(если рассматривать только коэффициенты при неизвестных без свободных чисел,
то получающаяся матрица называется
матрицей системы линейных уравнений).
Вот так можно было бы записать в символическом виде в предыдущем примере приведение системы линейных уравне-
ний к ступенчатому виду:
()()
() ()
()()
11 2
21 3 12 3
13 51 1 3 51 1 3 51
1351
12 61 0 110 0 110 .
0110
25112 0 110 0000
−⋅ +
−⋅ + −⋅ +



→− →− →


−


−

Элементарные преобразования рассмотренной системы линейных уравнений приводили каждый раз к целым коэффи-
циентам при неизвестных. Так, к сожалению, бывает не всегда
− возможно будут появляться дробные коэффициенты, что,
вообще-то, сделает применение метода Гаусса более хлопотным. Избежать появления дробных коэффициентов можно сле-
дующим образом.
Выделим две строчки в преобразуемой матрице (мы сознательно упростили обозначения и считаем, что
0и0
1
≠
≠
aa ):
1111
abcd
abcd








KK
KK
KK
Умножим первую выделенную строчку на
()
(
)
!0
11
≠
− aa , а вторую выделенную строчку − на
()
!0≠aa :
1111
1111
aa ab ac ad
aa ab ac ad


−−−−






KK
KK
KK
Прибавим ко второй выделенной строчке первую выделенную и умножим первую выделенную строчку на
−
1
1
a
:
11 11 11
0
ab c d
ab a b ac a c ad a d





−−−



KK
KK
KK
Введем удобное обозначение
11
11
ab
ab a b
ab
=−
(как мы узнаем позже, это определитель порядка 2). Тогда можно запи-
сать так:
11 111 1
0
ab c d
ab acad
ab acad










KK
KK
KK
Тем самым видна закономерность преобразования коэффициентов при неизвестных, которую очень удобно использо-
вать при применении метода Гаусса, т.е. можно делать «быстрые» преобразования
− переходить от (1) сразу к (2) (заметим,
что у всех определителей первый столбец один и тот же, а меняется только второй).
Далее, если
a ≠ 0, a
1
= 0, то необходимости в этом шаге метода Гаусса нет − нуль уже стоит на нужном месте. Если a =
0,
a
1
≠ 0, то подобные «быстрые» преобразования недопустимы в методе Гаусса − они могут привести к неравносильной сис-
теме.

Страницы