Алгебра. Ткач Л.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Рассмотрим систему линейных уравнений
=++−
=
.0
;0
zyx
y
Расширенная матрица системы
0100
1110


−

. По-
пробуем применить «быстрое» преобразование:
0 1 00 0 1 00
1110 0100

→

−

.
Ясно, что система линейных уравнений, соответствующая новой матрице, т.е.
=
=
,0
;0
y
y
неравносильна первоначальной
системе (вопрос к читателю: какое множество решений новой системы?).
Причина такого положения дел очевидна
− в процессе преобразования уравнений, которые сворачиваются в «быстрые»
преобразование, есть умножение уравнения на
a. Поэтому, если a = 0, то данное преобразование системы не сохраняет, во-
обще говоря, множество решений системы.
Поэтому в случае
a = 0, a
1
≠ 0 шаг метода Гаусса должен быть другим − нужно просто поменять местами два уравнения
системы (элементарное преобразование 2).
Пример. Решить систему уравнений
=+++
−=+++
=
+
+
+
.194456
;4232
;52264
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса:
46225 4 6 225 4 6 225 4 6 225
23124 0 0 0426 0 164446 0 82223
654419 0 164446 0 0 0426 0 0 0213


−→ − → − → −


−−−

.
Сделаем необходимые пояснения. Во время второго преобразования мы поменяли местами вторую и третью строчки
расширенной матрицы системы. Во время третьего преобразования мы умножили вторую и третью строчки на
2
1
.
Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:
−=
=++−
=
+
+
+
.132
;23228
;52264
4
432
4321
x
xxx
xxxx
Из последнего уравнения найдем
2
13
4
−=x . Выразим x
2
через x
3
из второго уравнения:
23
91
24
x
x=− +
,
из первого уравнения выразим x
1
через x
3
:
13
45 7
48
x
x=−
.
Таким образом, общее решение системы линейных уравнений
.,
2
13
;;
4
1
2
9
;
8
7
4
45
3333
Rxxxx ∈
−+−−
6.6. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим в заключение однородную систему линейных уравнений. Очевидно, что однородная система линейных
уравнений всегда совместная, так как всегда обладает нулевым решением
(
)
0...;;0;0 . В каком случае однородная система
линейных уравнений обладает еще и другими (ненулевыми) решениями?
Теорема 6.6.1. Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, все-
гда имеет ненулевые решения.
Доказательство. Приведем рассматриваемую однородную систему линейных уравнений к ступенчатому виду. Число
шагов, выполненных для этого при помощи метода Гаусса, равно числу уравнений в системе ступенчатого вида (конечно,
мы не учитываем тривиальные уравнения), которое, в свою очередь, не превышает числа уравнений в исходной системе.
Так как по условию число уравнений в исходной системе меньше числа неизвестных, то и число уравнений в системе сту-
пенчатого вида меньше, чем число неизвестных. Следовательно, ступенчатая система имеет бесчисленное число решений и в том
числе, конечно, ненулевые. Теорема доказана.
.
.
,
.

Страницы