Алгебра. Ткач Л.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

7. МАТРИЦЫ
7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение 7.1.1. Матрицей размеров m × n называется совокупность nm
⋅
чисел, расположенных в виде таблицы из
m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Например,
123
456



. Матрицы, как правило, обозначаются большими буквами: A, B, C, … Если нужно указать размеры
матрицы, то будем делать это так:
nm
A
×
, где m – число строк матрицы; n – число столбцов матрицы. Например,
=
×
6
3
54
21
32
A
.
Элементы матрицы удобно обозначать соответствующими маленькими буквами с двумя индексами:
a
ij
, где i – номер строки, в
которой находится данный элемент;
j – номер столбца, в котором находится данный элемент. Например, для предыдущей матрицы
6,1:
231132
==
×
aaA . В общем виде матрицу размеров m × n можно записать так:
=
×
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
или
(
)
ij
A
a=
,
.,...,2,1;,...,2,1 njmi
=
=
Определение 7.1.2. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие
на одинаковых местах.
Например,
2121
кактак,и
2
3
07
21
,
2
3
04
21
baBABA ≠≠
=
= .
Если размеры матрицы 1 × n, то такую матрицу называют матрицей-строкой (или просто строкой). Если размеры мат-
рицы
m × 1, то такую матрицу называют матрицей-столбцом (или просто столбцом). Иногда удобно считать, что матрица
nm
A
×
составлена из n столбцов размера m × 1, которые будем обозначать A
1
, A
2
, A
3
, …, A
n
.
Пример. Если
=
×
601
354
321
33
A , то
=
1
4
1
1
A – первый столбец матрицы
33×
A ,
=
0
5
2
2
A – второй столбец матрицы
33×
A ,
=
6
3
3
3
A
– третий столбец матрицы
33×
A .
Если размеры матрицы одинаковы
m = n, то такую матрицу называют квадратной. Элементы
nn
aaa ...,,,
2211
квадрат-
ной матрицы называются
главной диагональю матрицы, а элементы
1121
...,,,
nnn
aaa
−
– побочной диагональю матрицы. Квад-
ратная матрица называется
диагональной, если у нее все элементы вне главной диагонали равны 0. Каждая диагональная
матрица размера
n × n имеет вид
nn
a
a
a
...00
...
0...0
0...0
22
11
. Среди всех диагональных матриц стоит выделить нулевые и единич-
ные матрицы. Если все элементы матрицы равны 0, то такая матрица называется
нулевой. Диагональная матрица называется
единичной, если 1...
2211
=
===
nn
aaa . Единичная матрица обозначается E (или
nn
E
×
, если необходимо указать размер мат-
рицы) и составлена из
n столбцов вида
=
0
0
1
0
0
M
M
i
E
(на i-м месте 1,
остальные элементы 0). Таким образом,
=
1...00
...
0...10
0...01
E
.
Заметим, что в дальнейшем мы будем рассматривать только матрицы, состоящие из чисел (или числовые матрицы). Но
можно рассматривать также и матрицы, состоящие из функций (такие матрицы называются функциональными). Вся терми-
нология в этом случае, конечно же, сохраняется.

Страницы