Алгебра. Ткач Л.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример.
,
10
00
,
00
01
,
01
00
,
00
10
=⋅
=⋅
=
= ABBABA
A
BB
A
⋅
≠
⋅
.
Используя столбцы A
i
, составляющие матрицу A, можно записать, что произведением матрицы A
m × n
и столбца
=
×
n
n
b
b
B
M
1
1
является столбец
1×m
C , равный
nnm
bAbAbAC
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
×
...
22111
.
Примеры.
1.
Пусть
=
=
3
1
2
,
6
3
5
2
4
1
BA
. Тогда
=
⋅+
⋅+
⋅=⋅
31
13
6
3
3
5
2
1
4
1
2BA
.
2. Удобно использовать матрицы и операции над матрицами при изучении систем m линейных уравнений с n неизвест-
ными:
=+++
=+++
=+++
;...
...
;...
;...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Если ввести обозначения
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
;
=
m
b
b
b
B
M
2
1
;
=
n
x
x
x
X
M
2
1
(матрица A называется матрицей системы линейных уравнений, столбец B называется столбцом свободных чисел, столбец X
называется
столбцом неизвестных), то систему линейных уравнений можно записать в матричном виде A ⋅ X = B.
Лемма 7.1. Столбцы
()
j
BA ⋅
матрицы B
A
⋅ равны:
(
)
j
BA ⋅
=
j
BA ⋅
, где
j
B
– j-й столбец матрицы B.
Доказательство.
()
=
⋅
⋅
++
⋅
⋅
=
⋅+
⋅+⋅
=
=⋅
njmn
njn
jm
j
njmnjm
njnj
mj
j
j
ba
ba
ba
ba
baba
baba
c
c
BA .........
...
...
...
1
11
111
11
11111
M
jnjnj
BAbAbA ⋅=⋅++⋅= ...
11
.
Лемма доказана.
Отметим еще некоторые
свойства операции произведения матриц.
1.
()() ()
BABABA
⋅
α⋅=⋅⋅α=⋅⋅α , где α – число;
2.
()
CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ и
()
CABACBA
⋅
+
⋅=+
⋅
;
3.
()()
CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ (ассоциативность произведения матриц);
4.
A
A
E
E
A
=⋅=⋅ .
Доказательство. 1. Обозначим
()
(
)
,
ij
cBAC
′
=⋅⋅α=
′
(
)
(
)
ij
cBAC
′
′
=
⋅
⋅
α
=
′
′
. Матрицы CC
′′
и одинаковых размеров и со-
стоят из одинаковых элементов:
()
∑∑
==
′′
=⋅⋅α=⋅⋅α=
′
n
l
n
l
ijljilljilij
cbabac
11
. Следовательно, они равны или
()
(
)
BABA
⋅
⋅
α
=
⋅
⋅α .
Второе равенство доказывается аналогично. Свойство доказано.
2. Докажем первое равенство свойства 2. Матрицы
(
)
CBA
⋅
+
и CBCA
⋅
+
⋅
имеют одинаковые размеры. Убедимся, что
соответствующие
столбцы матриц
()
CBCACBA ⋅
+
⋅⋅+ и равны. По лемме 7.1
(
)
(
)
=
⋅
+
i
CBA
(
)
i
CBA
⋅
+
=
. Далее, обозначив i-й столбец мат-
рицы
C как
=
ni
i
i
c
c
C M
1
, получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=⋅
+
+
+
⋅
+
=
⋅
+
+
+⋅+=⋅+
ninnini
n
ii
cBAcBAcBAcBACBA ......
1111
1
()
(
)
iinininini
BCACcBcBcAcA
+
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
++⋅
=
......
1111
.
Таким образом,
()
CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ . Второе равенство устанавливается аналогично. Свойство доказано.

Страницы