Алгебра. Ткач Л.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

7.2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Определение 7.2.1. Суммой (разностью) двух матриц
(
)
ijnm
aA =
×
и
(
)
ijnm
bB =
×
одинаковых размеров называется мат-
рица
(
)
ijnm
cC =
×
тех же размеров, элементы которой определяются равенствами
(
)
ijijijijijij
bacbac −=
+
=
.
Для обозначения суммы (разности) двух матриц используется запись
(
)
BACBAC −=
+
=
. Из определения суммы
матриц вытекает, что опера-ция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и сумма чисел. Например:
1.
A
BB
A
+=+ (коммутативность);
2.
() ()
CBACBA ++=++ (ассоциативность).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Отметим также такое очевидное свойство:
()
(
)
ii
i
ii
i
BABABABA ,,где,
+
+
=+ – i-е столбцы матриц BABA ,,+ , соответствен-
но.
Определение 7.2.2. Произведением матрицы
(
)
ijnm
aA =
×
на число λ называется матрица
(
)
ijnm
cC =
×
, элементы которой
определяются равенствами
ijij
ac
⋅
= λ
.
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись λилиλ ACAC =
=
. Очевидно, что данная опе-
рация обладает следующими свойствами:
1. (
λ µ) A = λ (µ A);
2.
λ (A + B) = λ A + λ B;
3. (
λ + µ) A = λ A + µ A.
Используя операцию умножения матрицы на число, разность
A – B двух матриц одинаковых размеров можно записать
как
A – B = A + (–1) B.
Определение 7.2.3. Произведением матрицы
(
)
ijnm
aA
=
×
на матрицу
(
)
ijkn
bB
=
×
называется матрица
(
)
ijkm
cC
=
×
, эле-
менты которой определяются равенствами
∑
=
=
n
l
ljilij
bac
1
(элемент
ij
c
, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, матри-
цы
C равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B).
Для обозначения произведения матриц используется запись
C = A ⋅ B. Обратим внимание, что матрицу A можно умножить
не на всякую матрицу
B. Согласно определению, матрицу A можно умножить только на такую матрицу B, у которой число
строк равно числу столбцов матрицы
A.
Пример. Найдем произведение C = A B, где ,
1
3
34
21
32
=
×
A
=
×
1
2
3
3
2
1
23
B . Заметим, что число столбцов матрицы A
равно числу строк
матрицы B (иначе умножать матрицы A и B нельзя). Матрица C будет иметь размеры 2 × 2. Таким образом:
=
=
2221
1211
1
2
3
3
2
1
1
3
34
21
cc
cc
C
.
Найдем элементы
ij
с
:
∑
=
=⋅+⋅+⋅=++==
3
1
3113211211111111
14332211
l
ll
babababac ;
∑
=
=⋅+⋅+⋅=++==
3
1
3213221212112112
10132231
l
ll
babababac ;
∑
=
=⋅+⋅+⋅=++==
3
1
3123212211211221
13312314
l
ll
babababac ;
∑
=
=⋅+⋅+⋅=++==
3
1
3223222212212222
19112334
l
ll
babababac .
Окончательно,
=
1913
1014
C . Попробуйте найти произведение
A
B
⋅
самостоятельно (мы только сообщим результат
=⋅
1097
81010
61113
AB
).
Заметим, что оба произведения
B
A
⋅ и
A
B ⋅ матриц A и B можно рассматривать лишь в том случае, если число столбцов
матрицы
A совпадает с числом строк матрицы B, а число строк матрицы A совпадает с числом столбцов матрицы B (например,
3223
и
××
BA ). При этом обе матрицы
B
A
⋅
и
A
B ⋅
будут квадратными, но размеры их, вообще говоря, различны.
Для того чтобы оба произведения
B
A
⋅ и
A
B ⋅ не только были определены, но и имели одинаковые размеры, необходимо и
достаточно, чтобы обе матрицы
A и B были квадратными одного и того же размера. Но даже в этом случае произведение матриц
не обладает, вообще говоря, коммутативностью.

Страницы