Алгебра. Ткач Л.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. Докажем свойство 3. Рассмотрим вначале частный случай, а именно, пусть
==
×
1
11
1
n
n
s
s
SC
M
– столбец размера n × 1.
Тогда
()
(
)
(
)
n
n
sBAsBASBA
111
1
...
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
=
⋅⋅ .
По лемме 7.1
() ()
(
)
(
)
nnn
n
sBAsBAsBAsBA
1111111
1
......
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
++⋅⋅
.
По свойствам 1 и 2 получаем:
() ()
(
)
(
)
()()
....
......
1111
1111111
1
SBAsBsBA
sBAsBAsBAsBA
nn
nnn
n
⋅⋅=⋅++⋅⋅=
=⋅⋅++⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅
В частном случае свойство доказано. Рассмотрим теперь общий случай, пусть C – матрица соответствующих размеров. Срав-
ним, используя лемму 7.1 и доказанный частный случай, соответствующие столбцы матриц
()()
CBACBA
⋅
⋅⋅⋅ и :
()()()
(
)
jj
j
CBACBACBA
⋅
⋅
=⋅⋅=⋅⋅ ,
(
)
(
)
(
)
(
)
j
jj
CBACBACBA ⋅⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
.
Они одинаковые, следовательно,
()()
CBACBA
⋅
⋅=⋅
⋅
. Свойство доказано.
4. Свойство 4 доказывается по той же схеме, что и предыдущие свойства. Во-первых, матрицы
AAEEA и, ⋅⋅ одинаковых
размеров, во-вторых, соответствующие столбцы этих матриц совпадают:
(
)
ii
i
AEAEA
=
⋅
=
⋅
,
()
ii
i
AAEAE
=
⋅=⋅ . Это и до-
казывает, что
A
A
A
=⋅=⋅ . Свойство доказано.
Определение 7.2.4. Транспонированной матрицей для матрицы
(
)
ijnm
aA =
×
называется матрица
(
)
ijmn
bB =
×
, элементы
которой определены равенствами
jiij
ab = (элементы i-й строки матрицы
mn
B
×
равны соответствующим элементам i-го
столбца матрицы
nm
A
×
или, что тоже самое, элементы j-го столбца матрицы
mn
B
×
равны соответствующим элементам j-й
строки матрицы
nm
A
×
).
Транспонированная матрица для матрицы
A обозначается символом
T
A
.
Пример. Если
=
6
3
54
21
A
, то
=
6
5
4
3
2
1
T
A .
Отметим некоторые свойства операции транспонирования:
1.
()
AA
T
T
= ;
2.
()
T
T
AaAa ⋅=⋅ , где a – число;
3. Если матрицы
A и B таковы, что A + B имеет смысл, то
(
)
TT
T
BABA +=+ ;
4. Если матрицы
A и B таковы, что A ⋅ B имеет смысл, то
()
TT
T
ABBA ⋅=⋅ .
Доказательство. Докажем только свойство 4.
Пусть
(
)
(
)
ijij
bBaA == ,
. Заметим, что размеры матриц
()
T
BA ⋅ и
TT
A
B
⋅
совпадают. Далее, элемент, стоящий в i-й
строке и
j-м столбце матрицы
()
T
BA ⋅ , равен элементу, стоящему в j-й строке и i-м столбце матрицы A ⋅ B, т.е. равен
nijnijij
bababa ⋅++⋅+⋅ ...
2211
. Но это выражение есть сумма произведений элементов i-й строки матрицы
T
B на соответст-
венные элементы
j-го столбца матрицы
T
A
, так что элементы матриц
()
T
BA ⋅ и
TT
A
B
⋅
, стоящие на одинаковых местах,
совпадают. Следовательно,
()
TT
T
ABBA ⋅=⋅ . Свойство доказано.
Определение 7.2.5. Квадратная матрица A называется симметрической (кососимметрической), если
(
)
AAAA
TT
−== .
Если обозначить
(
)
ij
aA = , то для элементов симметрической матрицы верно равенство
jiij
aa = . Элементы кососиммет-
рической матрицы удовлетворяют равенству
jiij
aa −=
, а элементы кососимметрической матрицы, стоящие на главной диа-
гонали, равны 0 (
0=
ii
a ).
Пример. Матрица
−
−=
312
104
241
A
является симметрической, матрица
−
=
01
10
B
– кососимметрической.
7.3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МАТРИЦ
Пусть A – квадратная матрица, определим целую неотрицательную степень матрицы A. А именно,
EANnAAAA
n
n
=∈⋅⋅⋅=
0
раз
и,...
43421
. Заметим, что справедливо равенство
qpqp
A
A
A
+
=
⋅
, где p, q – целые неотрицательные
числа.

Страницы