Алгебра. Ткач Л.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если система линейных уравнений имеет ступенчатый вид, то решение ее не представляет труда. А если система ли-
нейных уравнений имеет не ступенчатый вид, то можно свести ее с помощью преобразований, не изменяющих множество
решений, к ступенчатому виду, а затем ее решить.
Отметим преобразования системы (назовем их элементарные преобразования), не изменяющие множество решений
системы и которые удобно применять для приведения системы к ступенчатому виду:
1) вычеркивание уравнения системы, у которого все коэффициенты при неизвестных и свободное число равны нулю,
т.е. вычеркивание тривиального уравнения
00...00
21
=
⋅
+
+
⋅
+⋅
n
xxx ;
2) изменение порядка следования уравнений системы;
3) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля;
4) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения системы, умноженного на некоторое число.
Теорема 6.4.1. Элементарные преобразования переводят данную систему линейных уравнений в равносильную ей сис-
тему (т.е. имеющую то-же множество решений).
Доказательство. Равносильность систем при элементарных преобразованиях 1–3 очевидна. Рассмотрим элементарное
преобразование 4. Пусть дана система линейных уравнений (выделим в системе только i-е и j-е уравнения):
=+++
=+++
...
;...
...
;...
...
2211
2211
jnjnjj
ininii
bxaxaxa
bxaxaxa
После прибавления к i-му уравнению системы (1) ее j-го уравнения, предварительно умноженного на число k, получим
систему
()( )( )
=+++
+=++++++
...
;...
...
;...
...
2211
222111
jnjnjj
jinjninjiji
bxaxaxa
kbbxkaaxkaaxkaa
Покажем, что системы (1) и (2) равносильны, т.е. любое решение системы (1) является решением системы (2) и наобо-
рот.
Пусть
()
n
lll ...;;;
21
− произвольное решение системы (1), т.е.
=+++
=+++
...
;...
...
;...
...
2211
2211
jnjnjj
ininii
blalala
blalala
верные числовые равенства. Прибавим к i-му равенству системы (3) j-е равенство, умноженное на число k. Тогда равенства
(3) превратятся в следующие верные числовые соотношения:
()( )( )
=+++
+=++++++
...
;...
...
;...
...
2211
222111
jnjnjj
jinjninjiji
blalala
kbblkaalkaalkaa
Из истинности равенств (4) следует, что
()
n
lll ...;;;
21
является решением системы уравнений (2). Этим установлено, что
каждое решение системы уравнений (1) является решением системы уравнений (2).
Пусть теперь
()
n
lll ...;;;
21
− произвольное решение системы (2). Тогда справедливы числовые равенства (4). Теперь
прибавим к i-му равенству из (4) j-е равенство, умноженное на число
)( k
−
. Выполнив это преобразование, получаем верные
числовые равенства (3) , т.е.
()
n
lll ...;;;
21
− решение системы (1). Теорема доказана.
Покажем, как элементарные преобразования используются для приведения системы линейных уравнений к ступенча-
тому виду. Среди уравнений системы найдем такое, у которого
0
1
≠
i
a . Такое уравнение обязательно существует, иначе бы
переменная x
1
отсутствовала в системе. Поставим найденное уравнение на первое место (элементарное преобразование 2),
запишем его в виде
11212111
... bxaxaxa
nn
′
=
′
+
+
′
+
′
.
(1)
(2)
(3)
(4)

Страницы