Алгебра. Ткач Л.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим систему m линейных уравнений
=+++
=+++
=
+
+
+
....
...
;...
;...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Уравнения системы будем считать пронумерованными − первое, второе и т.д. Коэффициенты при неизвестных в i-м
уравнении системы обозначим через
niii
aaa ...,,,
21
(первый индекс указывает номер уравнения, второй − номер неизвестно-
го, при котором стоит этот коэффициент), а свободное число i-го уравнения − через b
i
. Числа
nm
aaa ...,,,
2111
называются коэф-
фициентами системы линейных уравнений, а числа
m
bbb ...,,,
21
− свободные числа системы. Если все свободные числа сис-
темы линейных уравнений равны нулю
mib
i
...,,2,1,0 == , то система линейных уравнений называется однородной.
Определение 6.2.1. Решением системы линейных уравнений (1) называется такая упорядоченная последовательность
чисел
n
kkk ...,,,
21
, которая является решением каждого уравнения системы.
Если воспользоваться терминологией теории множеств, то можно сказать, что множество решений системы линейных
уравнений − это пересечение множеств решений всех уравнений, входящих в систему.
Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.
Пусть система линейных уравнений содержит противоречивое уравнение. Тогда каждое решение этой системы должно
быть решением противоречивого уравнения, но так как противоречивое уравнение не имеет решений, то система, содержа-
щая противоречивое уравнение, не является совместной (или несовместна). Рассмотрим примеры.
1. Рассмотрим систему
=⋅+⋅+⋅
=−+⋅
=
+
+
.3000
;120
;2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Так как последнее уравнение системы является противоречивым, то согласно вышеприведенному рассуждению − сис-
тема несовместная. Заметим, что эту систему можно было бы записать в более компактном виде:
123
23
2,
21,
03.
xxx
xx
+
+=
−
=
=
2. Рассмотрим систему
=
=+
=−−
.44
,24
,1323
3
32
321
x
xx
xxx
Решение этой системы довольно очевидно. Из последнего уравнения находим x
3
= 1. Подставим во второе уравнение x
3
= 1 и найдем x
2
= –2. Подставим x
2
= –2, x
3
= 1 в первое уравнение и найдем x
1
:
(
)
,113223
1
=
⋅
−
−
⋅
−
x
,113
1
=
+
x
.0
1
=
x
Таким образом, данная система является совместной и имеет единственное решение (0; –2; 1).
3. Рассмотрим еще систему
123
23
351,
0.
xxx
xx
+
+=
−+=
Подбором легко найти несколько решений этой системы, например, (–7; 1; 1), (–15; 2; 2). А есть ли еще решения этой
системы? Заметим, что в этой системе переменные x
1
и x
2
можно выразить через переменную x
3
:
x
2
= x
3
,
x
1
= 1 – 3 x
2
– 5 x
3
= 1 – 8 x
3
.
Если придавать переменной x
3
различные значения и находить по указанным формулам x
1
и x
2
, то мы будем получать
решение нашей системы. Таким образом, можно сказать, что любая последовательность чисел вида (1 – 8t; t; t ), t ∈ R являет-
ся решением нашей системы и других решений нет.
(1)

Страницы