Алгебра. Ткач Л.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 5.2.4. Разбиением множества A называется такое семейство его непустых подмножеств, что каждый эле-
мент множества A входит в точности в одно подмножество из этого семейства (или разбиение множества A есть семейство
непустых непересекающихся его подмножеств, объединение которых есть все множество A).
Теорема 5.2.1. Пусть на непустом множестве A задано отношение эквивалентности ~. Тогда фактормножество A /~ яв-
ляется разбиением множества A.
Доказательство. Каждый элемент a ∈ A принадлежит классу эквивалентности
(
)
aaa ~ . Осталось доказать, что каж-
дый элемент множества A принадлежит в точности одному подмножеству семейства A /~. Для этого достаточно показать, что
классы эквивалентности, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают.
Пусть
a
и b – классы эквивалентности, имеющие общий элемент c. Тогда, если
x
a
∈
, то x ~ a, a ~ c и c ~ b. Далее, в
силу свойств отношения эквивалентности x ~ b, т.е.
x
b
∈
. Таким образом, ab⊂ . Аналогично доказывается, что ba⊂ .
Следовательно, ab= . Итак, фактормножество A /~ является разбиением. Теорема доказана.
Следствие. Пусть на непустом множестве A задано отношение эквивалентности ~, тогда:
1) aa∈ , aA∀∈ ;
2) ab a=⇔~ b, aA∀∈ , bA∀∈ ;
3) ab ab≠⇔∩=∅, aA∀∈ , bA∀∈ ;
4)
aA
A
a
∈
= U
.
Верно и обратное утверждение к теореме 5.2.1.
Теорема 5.2.2. Пусть S – некоторое разбиение непустого множества A. Тогда на множестве A существует бинарное от-
ношение s такое, что A/s = S.
Доказательство. Определим на множестве A бинарное отношение s следующим образом: xsy ⇔ x и y принадлежат одно-
му и тому же множеству семейства S. Очевидно, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности, причем
фактормножество A/s = S. Теорема доказана.
Пример. Представим множество R
2
как объединение непересекающихся окружностей с центром в точке (0; 0). Таким
образом, мы получаем разбиение множества R
2
. Соответствующее отношение эквивалентности на множестве R
2
для этого
разбиения определяется так:
(x
1
; y
1
) ~ (x
2
; y
2
) ⇔
22 2 2
11 2 2
x
yxy+= +
.
5.3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА
При рассмотрении натуральных чисел обычно располагают их в определенном порядке: 1, 2, 3, … . Тем самым подчерки-
вается, что на множестве
N задано некоторое отношение, позволяющее расположить натуральные числа одно за другим. Вы-
пишем некоторые свойства этого отношения:
1) если
a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c;
2) если
a ≤ b и b ≤ a, то a = b.
Естественно, эти свойства 1) – 2) отождествить с понятием порядка на множестве
N. Обобщим эту ситуацию. Введем
определение.
Определение 5.3.1. Бинарное отношение < на множестве A называется отношением частичного порядка на множест-
ве A
(или частичным порядком на множестве A), если оно обладает следующими свойствами:
1) транзитивность;
2) антисимметричность.
Множество
A с заданным на нем частичным порядком называется частично упорядоченным. Два элемента x, y частично
упорядоченного множества называются
сравнимыми, если x < y или y < x. Заметим, что определение частичного порядка не
требует, чтобы любые два элемента множества были сравнимыми. Добавив это требование, получим определение полного
порядка на множестве
A.
Определение 5.3.2. Отношение < частичного порядка на множестве A называется отношением полного (или линейно-
го
) порядка на множестве A, если для любых a ∈ A и b ∈ A (a ≠ b) верно a < b или b < a.
44
Множество A с заданным на нем
отношением полного порядка называется
полностью упорядоченным (или линейно упорядоченным, или цепью).
Примеры.
1. Любое непустое подмножество множества
R с обычным отношением ≤ (или <) является полностью упорядоченным
множеством.
2. Пусть
U − произвольное непустое множество. Тогда на множестве всех подмножеств множества U отношение вклю-
чения
⊂ будет частичным порядком.
3. Пусть есть несколько картонных коробок, которые образуют множество
X. Будем говорить, что y
x
< , если коробка x
целиком помещается внутрь коробки
y (или если x и y − одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок X этот по-
рядок может быть или не быть полным.
4. Пусть
A и B − частично упорядоченные множества, на которых определены частичные порядки
BA
<< и
, соответст-
венно. Можно определить отношение порядка на множестве
B
×
разными способами. Можно считать, что
()( )
21212211
иесли,;; bbaababa <<< (покоординатное сравнение). Этот порядок не будет полным, даже если порядки
44
В некоторых учебниках это свойство бинарного отношения называют связанностью.

Страницы